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Matematica. — Sul problema degli isoperimetri. Nota di 

 Leonida Tonelli, presentata dal Socio S. Pincherle. 



1 ( 1 ). Sia F(x , y , x' , y') la solita funzione del calcolo delle variazioni. 

 Siano poi P(x ,'y) , Q(x , y) due funzioni finite e continue nel campo A in 

 cui è data (rispetto alle x , y) la F. 



Consideriamo un campo A 0 , limitato e chiuso, formato di punti interni 

 ad A, e la classe K di tutte le curve C, continue, rettificabili, di A 0 , sod- 

 disfacenti a certe condizioni, che siano però tali da risultare soddisfatte 

 anche per ogni ente limite di curve di K (così ogni ente limite, se è ret- 

 tificabile, appartiene necessariamente a K). 



Vogliamo dimostrare la seguente proposizione : 



Se è, per ogni punto (x , y) di A 0 e per ogni coppia (x' , y') di 

 numeri finiti non nulli insieme, F >> 0 , F! -> ( 2 ) allora, fra tutte le 

 curve C di K per le quali l'integrale 



le = | P(« , y) x' + Q(a; , y) y'\ ds = P(x , y) dx + Q{x , y) dy 



assume un valore costante 1, ve riè almeno una che rende minimo l'altro 



(') Per semplicità considereremo qui solo curve piane, ma le cose che diremo val- 

 gono senz'altro anche per le curve dello spazio: basta per questo tener presente quanto 

 si è stabilito al § IV della nostra Memoria: Sul caso regolare nd calcolo delle varia- 

 zioni (Rendic. Circolo Mat. Palermo, 1913). Tale lavoro nel seguito verrà indicato con (T). 



( 3 ) F,(# , y , %' , y r ) indica il solito invariante di Weierstrass 



( 3 ) Questo teorema, insieme a quello del n. 6, fu trovato per altra via da Hadamard 

 (Sur queìques questions de calcul des variations, Annales Scientifìques de l'Ecole Nomi. 

 Sup., 1^)07) sotto le seguenti ipotesi: a) K è la classe di tutte le curve rettificabili con- 

 tenute in un dato campo e congiungenti due dati punti, oppure chiuse in se stesse: 

 b) il campo è extremal-kouvex o, per lo meno, tale che le curve minimum da stabilirsi 

 risultino a priori interne ad esso; c) è F>O.Fi>0; d) P e Q hanno derivate par- 

 ziali, prime e seconde, continue, ed è, in ogni punto del campo ^ =f= ^ . Dalla di- 



mostrazione stessa dell' Hadamanl, risulta poi che le curve minimum sono estremali. 



integrale 



