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2. Per la dimostrazione è necessario premettere il 



Lemma. — L'integrale 1 è una funzione continua della linea oli 

 integrazione, se tal linea rimane sempre, in lunghezza, minore di un nu- 

 mero fisso. 



Da quanto si è stabilito al n. 10 di (T), risulta che, se una curva 

 variabile G a , costantemente inferiore, in lunghezza, ad un numero fisso, 

 tende all'altra C , ed è sempre Fj = o. allora, preso un?? positivo, arbitrario, 

 da un certo punto in poi la Ci soddisfa alla disuguaglianza 



E poiché nel caso attuale abbiamo al posto della F la Y(x,y) x -f- Q(x , y) y\ 

 la condizione F, = 0 è soddisfatta, e il lemma resta stabilito. 



Si potrebbe però giustamente obbiettare che mentre la funzione F, per 

 la quale fu dimostrato il teorema di cui qui abbiamo fatto uso, deve avete 

 le derivate parziali dei primi tre ordini, finite e continue, sulle P e Q noi 

 abbiamo fatto semplicemente l'ipotesi della sola continuità. Ma l'obiezione 

 si rimuove del tutto sostituendo alle funzioni P e Q due polinomi V n (xy), 

 Q, n {xy) che le rappresentino a meno di un e arbitrario. 



3. Dopo ciò, possiamo venir subito alla dimostrazione del teorema enun- 

 ciato al n. 1. 



Nella sotto classe K delle curve di K che soddisfano alla condizione 

 1 = /, l'integrale J ha un limite inferiore che indicheremo con j. Sia Ci , 

 C 2 , ... , C„ , ... una successione di curve K tale che si abbia limJc K = i /. 



Per la continuità della F, si pub fissare un numero m > 0 in modo che, 

 in tutto A 0 per qualsiasi coppia (x , y') di numeri soddisfacenti alla rela- 

 zione x' 2 -f- y' 2 = 1, sia F>m. Le lunghezze £„ delle C„ — avendosi 



j 



Jc n >i .£« • ffi e, di conseguenza, Mass. lim t n <. — rimangono perciò 



tutte inferiori ad un numero determinabile L. Le C„ ammettono allora, per 

 un ben noto teorema almeno una curva limite C, anch'essa inferiore in 

 lunghezza a L ed appartenente a K . Per il lemma del n. 2, è poi, essendo, 

 qualunque sia n } Ic„ = l : le — l • Questa C appartiene dunque anche a K. 

 M è (n. 10 di (T)) J c <. Min. lim Jc*. = lim 3 Cn = j . Poiché C appartiene 

 a K, non può essere J c <Cj> è dunque 3c = j, e la C dà il minimo che vole- 

 vasi stabilire. 



4. Supponiamo che la classe K sia tale — K' — che, preso un arco 

 qualsiasi di una sua curva C, del tutto interno ad A 0 , si possa sempre 

 determinarne un intorno, in modo che, variando l'arco con un altro qualsi- 

 voglia di detto intorno, non si esca dalla classe ( x ). Una simile condizione 



(') Veramente, per il seguito, basterebbe che la cosa fosse verificata solo per quelle 

 variazioni che non alterano il valore dell' integrale I. 



