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è, per esempio, verificata se K è la classe di tutte le curve rettificabili di A 0 

 congiungenti due dati punti o due date linee, ed anche se è quella di tutte 

 le curve rettificabili di A 0 che contengono o circondano i punti di un dato 

 insieme chiuso ( 1 ). Facciamo, inoltre, l' ipotesi che le funzioni P e Q ammet- 

 tano delle derivate parziali del primo ordine, finite e continue, e che, in 

 ciascun punto (x.y) di A 0 , le coppie (x' , y') che soddisfano all'uguaglianza 

 Fì(x,y , jc' , y') = 0 non riempian mai alcun arco del cerchio x' 2 -\- y n = 1. 

 Ciò posto, sia (a,/?) un arco, completamente interno ad A„, di una delle 

 curve minimum, dell'esistenza delle quali ci siamo occupati ai numeri pre- 

 cedenti. 



Si possano presentare due casi, a seconda che su (a , /?) è nulla o no 

 la variazione prima dell' integrale I . Nel primo di essi, si ha, essendo s 0 

 e Sì i valori dell'arco s corrispondenti agli estremi di (« , fi), 



P'!(P^' + §*y')p + (P^ f + %y') q + p/ + Q?' | ds , 



qualunque siano le funzioni p(s) , q(s) (continue insieme alle loro derivate 

 prime), sottoposte solo alla condizione di annullarsi per s = s„ e s = s, . 

 Da qui scende che deve aversi, separatamente, 



S 'j( P ^' + Q*y') P + PP' I ds = 0 , f\PyX' + %y') q-\-Qq'\ds = Q. 



Procedendo col metodo conosciuto di Du Bois-Reymond, si giunge a 

 stabilire che, essendo c x e c 2 due determinate costanti, le equazioni 



P — P j ? x x' + Q a /{ ds = Cì , Q — Pi V y x' + %y'\ds = e, 



devono essere soddisfatte in tutti i punti di (« , /S) ad eccezione al più di 

 un insieme di misura nulla ( 2 ). Ma essendo le varie parti che entrano in 

 queste equazioni tutte funzioni continue della s, ne viene che le equazioni 

 stesse devono essere soddisfatte su tutto l'arco (« , /?). Se ne trae, ad ecce- 

 zione al più di un insieme di misura nulla, 



V x .x' + P,/ — (V x x' + Q x y') = 0 , q x x' + %y — {V y x' + Q y x') = 0 



(1) P y = Q«: 



la quale ultima uguaglianza, per la continuità delle derivate P^jQa-, deve 

 essere effettivamente verificata su tutto (ce , /3). 



f 1 ) In questo secondo caso però i punti dell'insieme andrebbero riguardati come 

 facenti parte del contorno di A 0 . 



( 2 ) Una dimostrazione analoga a questa, e sviluppata per disteso, trovasi nel mio 

 lavoro Sulle soluzioni discontinue del calcolo delle variazioni, di prossima pubblicazione. 



