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Nel secondo caso, quando cioè la variazione prima dell'integrale I non 

 è nulla, deve essere, se poniamo H = F -f- X(?x' -f- Qy') (A = costante iso- 

 perimetrica), 



V\R x p + K y q + E*'P' -f H y rq') ds = 0, 

 ossia, ragionando come sopra, 



(2) H^r — ( ds = c 1 , E y r — ) B y ds — c 2 , 



uguaglianze che devono risultare soddisfatte in tutti i punti di (« , /S) ad 

 eccezione al più di un insieme di misura nulla. Sia E l'insieme (di misura 

 nulla) di quei punti di (a , fi) nei quali le derivate x' s ,y' s o mancano o non 

 soddisfano alla a' 2 -{- y' 2 = 1 , e di quegli altri nei quali non è soddisfatta 

 la prima (p. es.) delle due equazioni precedenti. Sia poi C(E) il comple- 

 mentare di E in (a , /?). 



Nei punti di C(E) esiste allora la tangente alla curva, e se indichiamo 

 con ti(s) l'angolo, compreso fra 0 e 2n (2n escluso), che la sua direzione 

 positiva forma con quella positiva dell'asse x, abbiamo .x'(s) — cos 6(s) , 

 y'($) = sen 6(s) , e sempre, in tutti i punti di C(E), sarà soddisfatta l'ugua- 

 glianza 



(3) Hx\x , y , cos ti , sen ti) — j B x {x ,y,oosd, sen 6) ds = c y . 



Sia ora P un punto qualunque di E . Per essere E di misura nulla, 

 potremo scegliere una successione Pi , P 2 , ... , P„ , ... di punti di C(E), ten- 

 denti a P. Indichiamo con ti n l'angolo relativo alla tangente alla curva 

 in P„, e dimostriamo che esiste il lim 6„ ('). Se, infatti, ciò non fosse, si 



«=00 



potrebbero estrarre dalla successione delle 6 n altre due successioni ti nr , 6„ s 

 (r , s = 1 , 2 , ...) aventi limiti ben determinati e distinti 6,8, rispettiva- 

 mente. E poiché la (3) è sempre verificata su C(E), si avrebbe, indicando 

 con s nr < Sn s ì valori di s corrispondeuti a ti Hr , ti ns , 



K x >(x(s ni ) , y(s m ) , cos O ni , sen ti ni ) — ) 1 E x ds = d , {i = r , s) 



e quindi anche, se s è il valore di s relativo a P, 



E x r(x(s ) , y{s ) , cos ti , sen 0) — j E 00 ds = c K , 



Js a 



H x r(,v(s) , y(s ) , cos 6 , sen ti) — E x dx — o x , 



JSo 



(') Diciamo che esiste il limite delle 6 n anche se alcune di esse tendono a 0 ed 

 -altre a 2n; e diciamo, in tal caso, che il limite comune è 0. 



Rendiconti. 1913, Voi. XXII, 1° Sem. 56 



