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donde 



Ba:r(x(s) , y(s ) , cos ti , sen ti) = H x i(x{J) , y(s ) . cos © , sen 6) . 



Considerando allora la H x r(x , y , cos y , sen y) come funzione della sola y , 

 si avrebbe 



Ha;' T = — H^v sen y -j- H a y cos y = 



= — IV^r sen y -(- ~F x r y r cos y = — sen y F x (x , «/ , cos y , sen y) , 



e poiché la F^cc , y , cos y , sen y), per ipotesi, è sempre >0 e, come fun- 

 zione della sola y non può essere costantemente nulla in nessun tratto, se 

 ne dedurrebbe l'annullamento di sin y nell 'interno dell'intervallo (ti, ti), 

 vale a dire, che dovrebbe essere 0 ^ti <^ti <^2n oppure 0 <- 0 <! 



< n < ti < 2tt . Ma osserviamo che, facendo ruotare gli assi coordinati di 

 un angolo a , gli angoli ti' nr , tì' ns che sostituirebbero ti nr , ti ns (*) dovrebbero 

 tendere rispettivamente a ti' , ti' — con ti' = ti — a oppure = 6' — a -f- 2tt,. 

 e 6' = 6 — a oppure =6 — a-\-2n — e dovrebbe ancora aversi 0 <.0'<jr 



< 0'< 2tt oppure 0 <. ti' <[ re <^ 0' <^ 2rc ; mentre, scegliendo opportuna- 

 mente a, sarebbe sempre possibile far in modo che ciò non avvenisse ( 2 ). Se 

 ne conclude che non è possibile che esistano i due limiti distinti ti e ti, e che 

 invece esiste un unico limite per le ti n . Abbiamo così che, quando un punto 

 arbitrario di C(E) tende al punto P di E, il corrispondente angolo ti tende 

 ad un limite determinato ed unico. Se tal limite lo assumiamo come valore 

 di ti in P, abbiamo la funzione 0(s) definita in tutti i punti di (a , /?), fun- 

 zione che risulta continua in tutti i punti di E . Ma se nel ragionamento 

 fatto or ora, sostituiamo al punto P di E un punto qualunque di C(E), 

 otteniamo che il lim ti n è precisamente il valore di ti relativo al punto 

 stesso. La funzione 0(s) è dunque continua in tutto (« , p), e tali sono pure, 

 di conseguenza, cos 6 e sen 6. Ma in tutti i punti di (« , /?), ad eccezione 

 al più di un insieme di misura nulla, è oc' = cos ti , y = sen ti ; si ha perciò 

 che le x(s) , y(s) , essendo gli integrali di cos ti(s) , sen ti(s) , ammettono in 

 tutto (a , /?) delle derivate continue, date rispettivamente da costì , sen ti. 



Le equazioni (2) sono allora soddisfatte su tutto (a,/?), e su tutto 

 tale arco sono pure soddisfatte le equazioni differenziali di Eulero 



In ogni punto poi dove è F,>0 esistono anche finite e continue le x" e y". 



(') Si avrebbe 6'n r = 6 nr — a oppure = 0» r — a-\-2n e così per 0'n s • 

 ( a ) Se fosse, per es., 0 -< 0 < n <C 6 < 2n , basterebbe prendere a = 6, nel caso, 

 che si avesse 6 — flj<7r, e or == 0, nel caso contrario. 



