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Concludiamo dunque che, nelle ipotesi qui poste,, ogni arco della curva 

 minimum, completamente interno al campo A 0 , soddisfa o all' equazione (1) 

 o al sistema (4) (il primo caso non escludendo però il secondo). È a no- 

 tate che se l'arco (a/S) soddisfa alla (1), ma appartiene ad un altro arco 

 (a'/S'), anch'esso tutto interno ad A 0 , e non soddisfacente per intero alla (1), 

 allora il primitivo soddisfa pure al sistema (4); e la stessa cosa vale 



se (« , /?) è interno ad una regione, per ogni punto della quale sia sempre 

 verificata la (1). Si hanno poi i seguenti corollari: a) se l'uguaglianza (1) 

 è soddisfatta solo in punti che non riempiono mai alcun arco di curva, 

 allora ogni arco di curva minimum, interno ad A 0 , soddisfa interamente 

 alle (4) ; b) se nussuna curva di K' soddisfa interamente alla (1) e la curva 

 minimum è tutta interna ad A 0 , allora essa soddisfa per intero alle (4) ( 1 ). 



5. Con metodo perfettamente identico a quello usato ai nn. 19 e 20 

 di (T), e tenendo conto del lemma qui stabilito, si dimostra il teorema di 

 Osgood nei due casi seguenti. Siano le ipotesi del teorema del n. 1, e C 

 una delle curve minimum ivi stabilite. Inoltre, per ogni altra curva C di K , 

 appartenente propriamente ( 2 ) ad un certo intorno della C e per la quale 

 sia le = l , si abbia (5) Jc — Jc > 0 . È allora possibile determinare un 

 intorno (q) di C in modo che, ad ogni £i <C ? corrisponda un numero fi > 0, 

 il quale soddisfi alla disuguaglianza Jc — Jc ^> fi per ogni curva C di K , 

 soddisfacente alla l c = l, appartenente propriamente all'intorno (q) di C , 

 e avente almeno un punto esterno all'intorno (qi). Se si sopprime la condi- 

 zione F > 0 e si sostituisce l'altra F! > 0 con la F, > 0, e si sa che 

 per tutte le curve C di K, che appartengono propriamente ad un cerio 

 intorno della C e che soddisfano alla I c = lc, è verificata la (5), allora il 

 teorema precedente continua a sussistere. 



6. Sia Ki una classe K (n. 1) di curve, la quale sia tale che ad ogni 

 suo elemento si possa aggiungere un arco di lunghezza arbitraria e percorso 

 due volte, in senso contrario, senza uscire con ciò dalla classe stessa. Allora, 

 presupponendo per le P,Q, la sola continuità, abbiamo: Se <?, per ogni 

 punto di A 0 e per ogni coppia (x',y) di numeri finiti non nulli insieme, 

 F ^> 0 , F, >. 0, fra tutte le curve di K x per le quali l'integrale J assume 

 un valore costante l, ve riè almeno una che rende minimo (massimo) 

 l'integrale I . Sia K , la sottoclasse di tutte le curve di K 1 per le quali 



(') La condizione che la curva minimum sia tutta interna ad A 0 non è difficile che 

 si possa stabilire a priori. Ciò avviene, per es., nel problema del minimo perimetro che 

 racchiude una data area, e in vari altri. Si noti che la conclusione del corollario b) ri- 

 mane giusta anche se esistono delle curve di K' che verificano per intero le (1), purché 

 per esse non sia 1=/. 



( a ) Per la definizione di curve appartenenti propriamente ad un certo intorno di 

 un'altra curva, vedi (T), n. 9. 



