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con k(u) , B(v) funzioni note ed A(0) = B(0) ; sarà quindi nota 



T = <p{u) + ip(v) = A(u) + B(v) — A(O) = A(w) + B(y) — B(0) , 



dopo di ohe basta applicare il teorema generale. 



Le superficie S della classe (A) vengono cosi a dipendere da quattro 

 funzioni arbitrarie (di una variabile ciascuna), le flessioni e le torsioni delle 

 curve C , r. Questo è in armonia col fatto che la ricerca delle superficie S 

 dipende da un'equazione a derivate parziali del 4° ordine; e sembra ben 

 notevole che, nonostante la complicazione del problema analitico, si possa 

 applicare agli integrali di questa equazione la teoria delle trasformazioni, 

 come abbiamo ricordato al n. 1. 



Particolarizziamo ancora questi risultati, e supponiamo che delle due 

 curve C,r una, per es. la prima u — Q, sia a torsione costante, l'altra r 

 rimanendo affatto arbitraria. La B(y) si ridurrà ad una costante, e resterà 

 quindi T = T(w) funzione della sola u. Le superficie S corrispondenti sono 

 quelle con linee asintotiche in un sistema (u = cost) a torsione costante, 

 variabile però, in generale, dall'una all'altra asintotica. Una superficie di 

 questa classe speciale è individuata se si fissa arbitrariamente un'asinto- 

 tica a torsione costante ed un'altra asintotica (arbitraria) nell'altro si- 

 stema (')■ 



Qui sono tre le funzioni arbitrarie che entrano nell' integrale generale, 

 ed in effetto le attuali superficie sono integrali di una equazione a derivate 

 parziali del 3° ordine, che si forma subito, nelle notazioni di Monge, come 

 segue. Esprimendo che le linee lungo le quali è costante la curvatura totale 



ri — s^ 

 K = (l+p' + q'Y 



sono asintotiche, proprietà questa che caratterizza le nostre superficie, si 

 ottiene la detta equazione del 3° ordine sotto la forma 



\ ~òy / Dx Dy 1 \Dy ! 



5. Limitandoci ormai a queste speciali superficie S colle asintotiche, 

 in un sistema, a torsione costante, vediamo come si semplificano in questo 

 caso le formole generali del n. 2. 



Essendo qui 



? - », 



(') Se anche la secoilda asintotica è a torsione costante, la superfìcie individuata è 

 pseudosferica e si ricade in un teorema noto. 



