costante 



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Se si suppone in particolare costante f{u), per es. f(u)—l, risulta 

 dalle (III) che si può fare anche Gì = 1, e queste si riducono alle due 



— = — sen w , — = — L , 



ossia alla ben nota equazione fondamentale 



Ve» 



= sen co 



della teoria delle superfìcie pseudosferiche. 



6. Ritornando al caso generale di f(u) variabile, supponiamo di tras- 

 formare ciascuna asintotica C del sistema u — cost , mediante una trasfor- 

 mazione di Bàcklund B«j ('), in un'altra curva C colla medesima torsione 

 1 



f \u) " 



Se M = (x , y , z) , M' = (x'.y', z') sono due punti qualunque corri- 

 spondenti di C , C, e y> = tp(u , v) l'angolo d' inclinazione del segmento 



MM' = f\u) cos a 

 sopra la tangente alla C , le forinole di trasformazione si scrivono 



(12) x' = x -j- f l {u) cos a(a cos <p -j- ? sen <p) , 



e, restando dapprima a una funzione arbitraria di u, l'angolo <p deve sod- 

 disfare alla equazione di trasformazione 



,.io\ ^5P 1— seuff 



(13) sen co — L. 



' ~òv f(u) cos a 



Ora cerchiamo di prendere per a — a{u) una tale funzione di u e de- 

 terminare ulteriormente <p in guisa che la superficie S f , luogo delle trasfor- 

 mate C, abbia queste curve per asintotiche, chè allora la S' apparterrà alla 

 classe medesima di S , e sarà una sua trasformata asintotica. 



Indicando cogli accenti le quantità relative alla curva C, abbiamo 



'■ a' = [1 -j- (sen a — 1) sen s y] . a -f- (1 — sen e) sen cp cos y . £ — 



— cos <t sen g> . X 



(14) { £' = (1 — sen a) sen cp cos <pa -f- [1 -f- (sen a — 1) cos 2 <p] f -j- 



-f- cos a cos (f . X 



X' = cos <r sen (j> a — cos a eos </> f -\- sen A . 



( l ) Per le forinole della trasformazione di Backlund delle curve a torsione costante 

 si può consultare il § 11 della mia Memoria: Configurazioni mobili di Móbius, nei Ren- 

 diconti del Circolo matematico, tom. XXII (1908). 



