— 479 — 



Sarà soddisfatta la condizione voluta se, insieme alla relazione identica 



sussisterà anche l'altra 



SA' — = 0, 



SA' — = 0, 



poiché allora le C saranno asintotiche sulla S'. Ma l'ultima relazione, cal- 

 colata dalle (12), (14), osservando le (IV), ci dà questa seconda equazione 

 a derivate parziali per la funzione incognita y : 



, TO( > ~ò(f> H t (l - f sen a) 



(13' *~ = ' sen(y — «). 



v ' Isu f 2 (u) cos a 



Se si scrive la condizione d'integrabilità pel sistema simultaneo (13) , (13'), 

 tenendo conto delle (III), si trova che a = a(u) deve soddisfare alla equa- 

 zione seguente: 



1 + sen a f'{u) d / 1 — sen 



d_ 1 1 — sen g \ 

 du \f{u) cos a / ' 



ovvero 



cose /^ 2 (^) \/'(m) cos e 

 da cui integrando 



(15) 1 -f- sen <r = 



/•(*) ' 



essendo k una costante (arbitraria). Viceversa determinando a in questo 

 modo, qualunque sia k, le (13), (13') formano un sistema completamente 

 integrabile ed ammettono quindi una soluzione <p contenente, oltre k, una 

 seconda costante d'integrazione. Le formolo (12) danno quindi, per ogni 

 valore di quest'ultima costante, una nuova superfìcie S' della classe di S, 

 e sua trasformata asintotica. Diremo che la S' è trasformata di S per una 

 B ft , ponendo in evidenza il valore di k scelto nella (15); così: 



Ogni superficie S, con un sistema di asintotiche a torsione costante, 

 dà luogo per una trasformazione (asintotica) B ft ad oo 1 nuove superficie S' 

 della medesima classe. 



7. Dalla considerazione delle trasformazioni finite B ft per le superficie S 

 passiamo a quella delle trasformazioni infinitesime, seguendo i concetti ge- 

 nerali indicati in lavori precedenti 



f 1 ) Ved. la Nota in questi Rendiconti (ottobre 1912): Intorno ad una nuova classe 

 di superficie e la Memoria negli Atti della Società delle Scienze (dei XL): Sulla teoria 

 della trasformazioni delle curve di Bertrand e delle superficie pseudosferiche (t. XVIII, 

 anno 1913). 



