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Di una superficie S , con un sistema di asintotiche a torsione costante, 

 si consideri una particolare trasformata asintotica S' per una B k . La S' 

 ammette, alla sua volta, la S come trasformata per la B ft ed insieme alla S 

 un sistema continuo oo 1 di tali trasformate, fra le quali una, che diremo Si, 

 infinitamente prossima ad S . Fra i punti di S , Si è stabilita una corri- 

 spondenza (che conserva le asintotiche e la curvatura), e noi indicheremo 

 come trasformazione infinitesima B ft il passaggio da ogni punto P = (x,y,z) 

 di S al corrispondente Pi == (x -f- 6% , y -\- ày , s -\- àz) di Si , ed in gene- 

 rale indicheremo col simbolo S le variazioni che subiscono le quantità re- 

 lative ad S in questa B ft infinitesima. 



Volendo calcolare queste variazioni, cominciamo dallo scrivere le for- 

 inole inverse delle (12), (14): 



x = x' — f 2 (u) cos o (a cos (f -f- 1' sen g>) 



[1 -f- (sen a — 1) sen 2 </] « -j- (1 — sen a) sen <p cos <p -\- 



-f- cos er sen cpl' 



(1 — sen o) sen <p cos g> a -f- [1 -f- (sen a — 1) cos 2 <p] £' — 



— cos a cos (pX 



— cos a sen <pa' -{- cos e cos <p£ -j- sen e A' , 



poi osserviamo che, la S' essendo fissa, sono nulle le variazioni é dei suoi 

 elementi. Variando quindi le (12*), (14*), si hanno dapprima le formole 

 seguenti : 



dx = f % (u) cos c{d sen (p — £' cos <p) ò(p 

 \ da = j2(sen a — 1 ) sen (p cos (fu' + (1 — sen a) (cos 2 g> — sen 2 g>) £' -j- 



-j- cos 0* COS 9>^.'j oty 



(16) { 



<J£ = j(l — sen e) (cos 2 <p — sen 2 <p) a' -f- 2(1 — sen a) sen (p cos y£ + 

 / -j- cos e sen <jpA'| J'y 



[ M, = — cos <r(a' cos y -j- £' sen 9)) <%> , 



che esprimono tutte le variazioni per l'unica 6<p . 



Sostituiamo in questa ad a' , £' , l' i loro valori (14) espressi per a. 

 £ , A e poniamo inoltre 



ò(p — «K , 



dove s è una costante infinitesima e K una funzione di u , v determinata 



