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diventeranno funzioni delle tre variabili u,v,w. Le forinole (17) per le 

 variazioni si cangiano ora in forinole di derivazione rapporto a w, e diventano: 



(IV*) 



la 



~òw 



f 2 (u) cos cr j sen cr sen c/a — sen cr cos y§ — cos <jX \ ■ K 

 |(sen g — 1) £ -4- cos a cos <pX \ • K 

 j (1 — sen c) « -j- cos cr sen (pX | K 

 — cos e j a cos y -J- £ sen g> { • K ; 



esse sono da aggregarsi alle (IV). 



Se scriviamo le condizioni d' integrabilità per le (IV*), paragonate con le 

 (IV), otteniamo le cinque nuove equazioni seguenti, da aggregarsi alle (III): 



DK 1+senff H^l + senc) , >) _ 



= — • ff ^7-7 cos (co — «) • K , 



~2>w cos cr / 2 (w) cos o- vy ') 



(III*) 



DK sen cr — 1 



= ~T7~~\ cos ^ ■ K , 



~òv f{u) cos cr 



1— sene "òH, , , . , „ 

 = 2 — -t cos a> • K , = cr / 2 (^) sen (co — a>) • K , 



"3^ /(«) cos cr ^ "àw ' w v ' 



» = / 2 _ tf'/'M cos(y — ( o)\ R ^ 



Le prime due non sono altro che le (18) ed esprimono che il passaggio 

 dalla S alla consecutiva avviene per la B A , cioè che si tratta di un sistema 

 fl»(S), 



Inversamente se le cinque funzioni 



L , H x , a» , <jp , K 



di u,v,w soddisfano le (III), (III*), vengono ad essere identicamente sod- 

 disfatte le condizioni di integrabilità per le (IV), (IV*), le quali definiscono 

 per ciò intrinsecamente un sistema i2 ft (S). 



9. Si tratta ora di esaminare più da vicino il sistema (III), (HI*) per 

 le cinque funzioni incognite e vedere se ammette soluzioni, ed in quale 

 arbitrarietà. 



