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Intanto se le scriviamo ordinatamente nel quadro 



I 1 7>L H 2 sen co [ "àH! ,, ( , 



\ = > \ = / (u) COS CO 



| !>L 1 — sene ) dH, , ... N , . „ 



' = 2 — - — cos q> • K / L = a f*(u) sen (a> — w) • K 



"ito /(tO-ooscr y \ !>w ' v 7 v 



Dt» _ /"(?<) sen (b 



7>y ~~ ~~ ~~ H, 



(V) 



\ 



) 25L j o ' _- COS (<p — t ») | 



f ìw ~ h, r 



, ì>K 1+senc , B,(l -f- sen <r) , ) 



\ = — ■ a — — , — cos {(p — co) K 



1 ~òu ì cos <r fHu) cos vy ' ) 



ì ~òK sen <r — 1 Tr 



r — = 77-; cos y ■ K 



{ lu f{a) cos <r 



/" 2 (m) cos c 



__ Hi(l -j- sen or) 



7w / 2 (w) COS 0" 

 1 — sen a 



sen (<p — co) 



sen a; — L , 



~òu f{u) cos e 



vediamo che esse formano un sistema lineare di forma canonica per le cinque 

 funzioni incognite L , Hj , w , g> , K ; le variabili principali sono 



w , w per L 

 y , w per H , , co 

 u , y per <p , K . 



D'altronde se si formano dal sistema (V) i due valori di ciascuna delle 

 derivate seconde doppiamente principali 



~ò 2 L ~ò 2 Hi yco ì> P 2 K 



Dm 7)«y ' ~òv ~òw ' 7)y ItW ' ~5w ^y ' ' 



si trova ogni volta che essi coincidono, in forza delle (V) stesse. Il sistema 

 (V) è dunque completamente integrabile, secondo Bourlet ('), ed ammette 

 quindi soluzioni dipendenti da cinque funzioni arbitrarie. Se prendiamo tre 

 valori fìssi di u , v , w , siano p. es. u = 0 , v = 0 , w = 0, esiste, in or- 

 dine al teorema fondamentale, uno ed un solo sistema integrale 



(L , Hi , » , y , K) 



tale che: 



per u = 0 , w = 0 , Lsi riduca ad una funzione data di v 

 per v = 0 , w = 0 , Hi , co si riducano a funzioni prefissate di u 

 per u — 0 , v — 0 . <p , K si riducano a funzioni prefissate di w. 



O Cfr. Nota n. 3. 



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