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Eesta da interpretare geometricamente questo risultato per i sistemi 

 •fift(S). Delle cinque funzioni arbitrarie, una di queste è apparente dipen- 

 dendo dall'arbitrarietà del parametro u> , il quale potrà p. es. rissarsi in 

 guisa da rendere 



Così in realtà: / sistemi Sì k (S) dipendono da quattro funzioni arbi- 

 trarie. Si riconosce subito il significato delle tre prime di queste, come 

 inerenti alla superficie iniziale io = 0 nel sistema i2 ft (S), la quale può 

 quindi scegliersi ad arbitrio. Alla traiettoria u=0 , y = 0 è quindi ine- 

 rente la quarta funzione arbitraria, onde segue che la traiettoria stessa non 

 può essere una curva qualunque, e resta da vedersi quale è la proprietà 

 geometrica che la caratterizza. 



10. La risposta alla questione sopra enunciata si ottiene col seguente 

 teorema : 



Nei sistemi Sì k (S) le traiettorie descritte dai singoli punti delle su- 

 perficie S sono curve di Bertrand. 



Per dimostrarlo basterà calcolare gli elementi relativi a queste traiet- 

 torie (w), che indicheremo colle notazioni consuete 



e così con — , — le due curvature. Dalla prima delle (IV*) abbiamo 



K(0 , 0 , w) =-1 e). 



1 



ds w = f 2 (u) cos a . K . dio , 



indi 



(19) 



a w = sen a sen (fa — sen a cos (p% — cos e A . 



Poi dalle forinole di Prenet 



da 

 dSj 



e dalle (IV*) stesse 



/» coscr-K |^ 



sen o — -}- (1 — sen a) K > (a cos <p -f- £ sen y>) 



colle analoghe. Queste si risolvono nelle due 



(20) % w = s (a cos g> -j- £ sen y>) , con s = rt 1 , 



(21) 



(') Ciò equivale a prendere w proporzionale all'arco della traiettoria u = 0 , v = 0. 



