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ossia s è invariante per tutte le traslazioni di C nella direzione t 

 si potrà dire evidentemente che F dipende solo dai valori assunti da f{t) 

 non dal punto estremo x , cioè che P è una funzionale pura rispetto a f{t). 

 Dal punto di vista ereditano avremo in questo caso che lo stato in un 

 certo istante non dipende da questo istante, ma è caratterizzato solo dal 

 modo con cui si è svolta la storia anteriormente a questo istante, in altri 

 termini avremo la invariabilità delle leggi ereditarie attraverso il tempo, 

 ciò che si esprimerà dicendo che in questo caso vale la invariabilità del- 

 l'eredità. 



Esaminiamo ora il 4° caso, e supponiamo che sia 



f[[/(0]| = f|[/(^Ìt)]|, 



— 00 00 ^ 



allorché T ha un certo valore determinato e f{t) è periodico collo stesso 

 periodo T (come nell'esempio considerato nel § precedente). 

 In questo caso avremo 



x x -f- T x -\- »T 



F|[AO]| = F|[/(0]| = F|[/(0]|, 



— 00 — 00 — 00 



n essendo un numero intero qualunque. 



Potremo quindi dire che z è invariante per tutte le traslazioni di 

 ampiezza T parallele a t che riconducono la curva 0 su, se stessa, ossia 

 che 



z = z(x) 

 è periodico col periodo T allorché 



y = /(*) 



è periodica collo stesso periodo. 



Consideriamo y e z come l'ascissa e l'ordinata di un punto del piano; 

 facendo variare x questo punto percorrerà nel caso attuale un ciclo chiuso 

 con moto periodico di periodo T . Potremo quindi caratterizzare questo caso 

 dicendo che in esso si verificano le condizioni del ciclo chiuso col periodo T. 



5. Vogliamo ora dimostrare il teorema: Se le condizioni del ciclo 

 chiuso sono verificate per tutti i periodi, vale la invariabilità della ere- 

 dità, e reciprocamente se vale la invariabilità delle eredità le condizioni 

 del ciclo chiuso sono verificate per tutti i periodi (*), 



(') E facile stabilire delle denominazioni analoghe negli altri casi. 

 ( 2 ) Si può enunciare lo stesso teorema facendo uso delle parole introdotte prece- 

 dentemente riferentisi alle proprietà invariantive funzionali. 



