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sia questa curva, sarà pure invariante, allorché C è periodica con un pe- 

 riodo eguale all'ampiezza della traslazione. 



Possiamo dunque concludere che, in conseguenza del postulato della 

 dissipazione dell azione ereditaria, la condizione del ciclo chiuso per qual- 

 siasi periodo e la invariabilità deU eredità sono condizioni equivalenti. 



A questo teorema fondamentale nello studio dei fenomeni ereditarli di 

 qualsiasi natura daremo il nome di principio del ciclo chiuso. 



Osserviamo che esso vale anche quando f(t) o F(a') sono discontinue, 

 nel qual caso il ciclo è discontinuo. 



6. Deduciamo alcune conseguenze da quanto è stato stabilito. 



x 



Teorema I. — Se F|[/(£)]| soddisfa alla condizione del ciclo 



— 00 



chiuso ed è continua e derivabile rispetto a f si avrà 

 F\\ft*-h) t S+hì\ = V\[/M t f]\ 



— oo — oo 



ove il parametro contenuto nella derivata denota il punto in cui si è 

 eseguita la derivazione. 



Prendiamo <p(t) finita e continua e tale che 



<p(t) = 0 per t compreso fra — oo e — k 

 m^>g>(t)^>0 per t compreso fra — k e k 

 (p(t) = 0 per t compreso fra ^ e oo, 



ove k >> 0. Sia 



r g>(t) dt=o . 



J-h 



Poiché F soddisfa alla condizione del ciclo chiuso, avremo 



f u(t - h) +%{t - £ - adi = f \f{t) + Z{t - m\ 



— 00 — 00 



quindi 



F | lf(t - h) + ì(t- f - A)] | - F | ufi ~ *)] I 



00 00 



CD SS 



*|[/(0 + rt<-*)]i-F|[y(<)]l 



00 — 00 



a 



e passando al limite per h ed m tendenti a zero, resulterà 



w\ult-h) + hy = r\f{t), 



— 00 — 00 



