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In modo analogo passando alle derivate successive si trova la relazione 

 .F (n) J[/(*~- h),$ } . + h,§, + 7i,... £„ -f 7;.] | = F<»>|[/^) ... £„] | . 



00 00 



Si dirà che una funzione <2> dipendente da f(t) e da « parametri £ t , 

 £ 2 , ... £ n soddisfa alle condizioni del ciclo chiuso, quando 



30 | }i % 



<f> [\(t - h) , ?x + h , h + h , ... + A]| = <P ... £ n ]| 



— 00 — 00 



onde il 



Corollario I. Se una funzione soddisfa alla condizione del ciclo 

 chiuso vi soddisfano anche tutte le sue derivate. 

 Abbiasi 



(I) * 117(011- H*i(*|«M&)<tfi + 



— 00 J —OD 



+ r^JT f" s &\ s * , h) fidimi Mi té 2 



in cui F„(«r|J 1 , £ 2 , ... £ M ) è simmetrica rispetto a f, ,f 2 ,... e in valore 

 assoluto inferiore a 



w ! . M«! , « 2 , ... e„ 



R" . (1 + x — f O 1 ^ (1 + a? — ? 2 ) 1+S2 ... (1 + a; — £«) 



M , , e 2 , ... c M , R , essendo numeri positivi. F sarà determinata e finita 

 allorché |/(/)j<R è continua, e avremo 



f (m) ! [/(') . h , ... i»]|f ( t,=o = Fn(a|ii , ?2 ; ... ?„) , 



— oo 



dunque, in virtù del corollario precedente, se F soddisfa alle condizioni 

 del ciclo chiuso sarà 



F„(z + h\ f, + h , + h , ... £ n + /i) = F„(#|f , , ? 2 , ... ? n ) 

 e quindi 



F„(a|fi , £ 2 , ... £„) = F n (^ — £i , # — £ 2 , ... x — £„). 



