— 563 — 



« Sia R una quantità funzione delle quantità funzioni di quantità; cioè 

 supponiamo che R/, l'R corrispondente ad /, sia un numero, tutte le volte 

 che f è la caratteristica d'una funzione reale di variabile reale. 



« Supponiamo che la funzione R sia lineare, o come si dice anche, di- 

 stributiva; cioè R(/~ -f- g) = R/ -f- R# ; ed inoltre soddisfi ad alcune limita- 

 zioni di cui parleremo. 



e Sono tali l'integrale di f, fra due limiti fissi; ed ogni funzione li- 

 neare ed omogenea dei simboli d' integrazione, di derivazione, di somme e 

 di differenze finite sulla funzione f. 



« Sia n un numero naturale; e supponiamo che comunque si prenda 

 la funzione /, algebrica razionale intera, il cui grado sia però inferiore ad n, 

 sempre si abbia R/ = 0 ; cioè il resto R sia nullo per tutte le funzioni 

 intere di grado inferiore ad n . 



« Allora sia / una funzione reale di variabile reale, avente la derivata 

 d'ordine n (e quindi anche le precedenti). Il resto R/\ corrispondente a 

 questa funzione /, si può esprimere mediante 



£ 



(gx) D" fx àx 



cioè mediante l'integrale, da — oo a +00, del prodotto d'una conveniente 

 funzione gx, per la derivata d'ordine n della f. 



«■ Il fattore gx per cui moltiplicheremo la derivata d'ordine n, è il 

 valore del resto R corrispondente alla funzione 



(n-1)! 2 Slgn( *-* } ' 



in cui la variabile è n, che assume tutti i valori reali. 



<t Signs, « il segno di £ », è la funzione discontinua, che per s>o» 

 ha il valore -f-1. per z < 0, vale — 1; e signO = 0; e della quale si 

 hanno espressioni analitiche semplicissime ». 



Si può cambiare un po' la forma del resto, introducendo un altro fat- 

 tore di discontinuità: 



xtq . Q . (px = - (1 -f- sign x) ; 



(px è quella funzione di x , che per x positivo vale e per x negativo 



vale 0. Si ha: 



x«q . 0 . sign x — 2g>x — 1 = 1 — 2g>( — x) . 



Sostituisco questi valori di sign x nell'espressione precedente del resto; os- 



( % x) n ~ 1 



servo che per ipotesi il resto corrispondente alla funzione intera —, 7— — 



\n — 1)! 



