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ove varia *, è nullo; ed ho una seconda espressione del resto: 



R /= s j r [ ^ir ^ ~ ' q ] ^ nf ^ x ' q i 



ovvero una terza : 



R/ = (- l) n S j R 8P(*-*)1«, q] D»/fc|» ,qj. 



Si ottengono altre espressioni, aggiungendo alla funzione ^ jrr g>(z — x). 



ove varia s, della seconda espressione un polinomio arbitrario di grado 

 n — 1 in s . 



La ricerca del fattore gx tale che R/'= I (gx) (D"fx) àx si può 



fare come segue. Considero una funzione /', la cui derivata d'ordine n è 

 nulla da — oo ad un valore x , vale 1 da x ad un valore x > x , e 

 vale 0 da x a -{-oo. Siccome questa derivata è discontinua in x ed x\ 

 in questi punti si dovrà parlare di derivate destre e sinistre, o di derivata 

 generale. Una funzione /", la cui derivata «-esima ha le proprietà volute è: 



(* — x) n , < (z — x'Y . 



— <f{Z -X)— ^ (f(z — x). 



gx dx , e 



X 



Hf u r{z-x) n v{2 — x) — {z — x') n <p{z—x'). ~| 

 gx — hm — — - — = hm R v — , , , — r — — — \s , q . 



La quantità di cui si prende la R è un rapporto incrementale, col segno — ; 

 il suo limite è la derivata rispetto ad x; questa derivata si fa come se 

 g>(z — x) fosse costante; invero per z~^>x,<p(z — x) = 1, e anche, per 

 x<Cx'<iz sarà g>(z — x') = \; e per z <C x , sarà g>(z — x) = y(z — x') = 0. 

 Patta la derivata, si ha : 



gx = K ^'~-\)\ y(* — aOJ«.q~| 



che sostituito nella espressione R/ - , qualunque sia f, dà la seconda forma 

 del resto cercato. 



La proprietà fondamentale della funzione lineare R è 



K(f-\- g ) = Kf+Kg. 

 Di qui, se m è un numero razionale, si deduce R(m/) = m(Rf). Per pas- 



