— obò — 



sare al caso di m irrazionale, Cauchy suppose la continuità della R , anche 

 nel caso semplicissimo in cui la variabile /', di cui si prende la R, sia 

 un numero. Altri fecero ipotesi meno restrittive. Il Formulario tratta solo 

 delle funzioni lineari dei complessi d'ordine tinito. Qui, come in altri lavori, 

 la variabile, che è l'andamento della funzione, è un complesso d'ordine in- 

 finito non numerabile. Noi supponiamo che la funzione R contenga solo ope- 

 razioni integrali, e di derivata d'ordine minore di n; la applicheremo a sole 

 funzioni /', per cui esistano gii integrali e le derivate che occorrono. E sup- 

 poniamo che tutti i valori che si considerano della variabile, siano compresi 

 in un intervallo finito. 



Applichiamo la regola precedente a calcolare: 



W= fb - [> + (b - a) Vfa + • • ■ + iÒ ~^ D«-7«] , 



ove a , be q . e supporremo a<C_b , e f è una funzione reale definita, con la 

 sua derivata d'ordine n, nell'intervallo da a a b. TI resto cercato è il 

 noto resto della formula di Taylor; esso è nullo se f è funzione intera di 

 grado <Cn. 



Si calcoli perciò 



cioè il resto precedente, corrispondente alla funzione che da — oo ad x , 

 vale 0, e da x a -j- oo è rappresentata dalla parabola d'ordine n — 1: 

 {2 — x) n ~ x . 



— -rr— , in cui vana z . 



{n — 1)! 



Se x<«, nell' intervallo da a a b, la funzione è appunto intera di 

 grado n — 1, perciò R [•• •] = 0. 



Se x^>b, nell'intervallo da a a b, la funzione è sempre zero; perciò 

 R[..] = 0. 



( g x) n ~ l 



Se a<i_x <C.b, e posto per un momento fz — — — — <p(s — x) , 



\n l). 



sarà fb = y* " X ] n 1 ; fa = Dfa = • • • = D' 1 " 1 fa = 0 ; perciò R[ • •] = 



_ {b — a;)"- 1 

 ~ (» — 1)! ' 



Pertanto, essendo /'una funzione qualunque, si avrà; 



R/ ' = L7 R [_ * ( * ~~ x) '* ' \\ Dnfx àx = 



J a {n — l)l 



