— 566 — 



che è l'espressione del resto, data da Lagrange nel 1797, e da cui si de- 

 ducono tutte le forme in cui compaiono valori medii della derivata ?2-esima. 



Viceversa, dall'espressione del resto sotto forma d' integrale, nella for- 

 mula di Taylor, possiamo dedurre l'espressione del resto nelle formule di 

 quadratura. 



Sia a un numero minore di tutti quelli che si considerano nella for- 

 mula di quadratura. 



La formula di Ta} r lor col resto dà : 



fi — polinomio di grado n — 1 in s -f- I —, ~D n fx dx ; 



ovvero, col fattore di discontinuità: 



* 



fz = polinomio ecc. -f- — — <p{z — x) D n fx dx . 



Calcolo il resto R sulla f; osservo che il resto R del polinomio di grado 

 n — 1 in s vale 0, per ipotesi, e rimane : 



Ef= R Q£" ( *~*f7 <P(2 - x) D n fx d*|* , q~j , 

 Si può commutare il simbolo di funzione lineare R col simbolo di integrale 



R^ j b f(x ,*) dx\g, q~J = £ 6 R[^ , *)J*, q] àx 

 e si ha nel caso nostro : 



Rf = £"s 9 {z - x)\g . q] TPfx dx . 



— — q>{z — x)\s , q è intera di grado 



{n—iy. J 



n — 1 in z , per tutti i valori che si considerano nel calcolo ; perciò la R 

 corrispondente è zero ; ed j R [• •] D" fx dx = 0 ; onde aggiungendo 

 questo integrale nullo, si ha: 



che è appunto la formula da dimostrarsi. 



Come esempio, applicherò la regola precedente al calcolo di 

 Rf= j^/fc dx-\ lf(- 1) + 4/0 + fi] 



