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quantità nulla per le funzioni f di grado inferiore al quarto. Questo resto 

 è la differenza fra l' integrale e la formula di quadratura data da Cavalieri 

 nel 1639, Gregory nel 1668, Cotes nel 1722, e Simpson nel 1740. La for- 

 mula si suol indicare col nome dell'ultimo. Vedi Formulario, pag. 368. 



x y ~ I 



- — - — — q{s — x) 1 2 , q , cioè il resto 



corri- 



spondente alla funzione sempre nulla da — oo ad x, e coincidente con la 

 parabola cubica (g — x) 3 /6 da a; a -f- oo, vale zero, perchè nell' intervallo 

 considerato da — 1 a — f— 1 , la funzione è di terzo grado. 



Se x >• 1 , si ha pure R[- • ■] = 0, perchè q>(z — x) è sempre = 0, 

 finché — 1 <C.M <C 1- 



Se 0 <! x <C 1, posto per un momento fs = - — - — — (p(s — x), si avrà 



| "'fs & 3 = ^~ x)ì àx =(1 — xY/24. E si ha pure fi = (1 — x) 3 /6 , 



/'0 = 0 ,/•— 1 = 0. Onde: 

 Se 0<x<l, si ha 



R [••■] = (1 — #)V24 — | (1 — ocY/6 = — (1 — x) 3 (x + l/3)/24. 



Se — 1 <#<CO, basta nella formula precedente scambiare x io — x. 

 Quindi colla nostra regola, si avrà: 



R/ = _ £ h (1 ~~ xf { x + ì) Bifx dx ~ 



- X' h (1 ~ xf { x + 1) dy(_ x) dx ' 



che si può anche scrivere: 



w = ~ àX' (1 ~ xf { x + ì) {T)4fx + D if ~ x)dx - 



Siccome il fattore, che moltiplica D 4 /\ conserva segno costante nell'in- 

 tervallo di integrazione, si può portare fuori il D 4 /, in cui alla variabile 

 si dia un valore medio u, e si avrà, eseguite le integrazioni, 



W= ~ Jjf] ,"PY» , ove - 1 < « < 1 , 



formula che pubblicai nel 1887, deducendola come sarà detto appresso. 



In questo caso, si ha nuova soltanto l'espressione del resto sotto forma 

 di integrale. 



