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Per avere resultati nuovi, la sig.na P. Quarra, calcolò, e presentò alla 

 R. Accademia delle Scienze di Torino, in seduta del 30 marzo 1918, il 

 resto, finora ignoto, in alcune formule di quadratura. Ecco il primo : 



Se d'una funzione fx si conoscono 4 valori fx a , fx x , fx z , fx 3 , si può 

 calcolare, con procedimenti algebrici, la funzione gx . intera, di terzo grado, 

 che per i 4 valori x 0 , x-, ,x 2 ,x 3 coincide con fx . 



La teoria delle funzioni interpolanti dice che si ha, per un valore qua- 

 lunque della variabile: 



fx = gx -{- (x — x 0 ) {x — x x )(x — x 2 ) (x — x 3 ) (D 4 fu)/ 4 ! 

 ove u è un valore medio fra , X\ , x t , x 3 , x . Integrando si ha J' fx àx 



espresso per approssimazione da Jgx dx , che ha la forma 



A 0 fxo -\- Aj fX\ -J— À.0 fx% -j- A3 f x 3 , 



.ove gli A sono indipendenti da f. E si ha un resto 



J(x — x 0 ) {x — Xi) (x — x 2 ) (x — x 3 ) (D 4 fu)/ 4 ! da; . 



La formula così detta di Simpson si può ottenere da questa, facendo 

 x 0 = — 1 , aSy = x% = 0 , x 3 — 1 ; il resto assumerà la forma 



i; 



(x + 1) x\x — 1) (D 4 fu) /4 ! àx ; 



e siccome il fattore che moltiplica D 4 fu ha un segno costante, si può por- 

 tare questo D 4 f fuori dell' integrale e si ottiene cos'i il valor medio del resto. 



Facendo invece i quattro valori della variabile eguali a 0,1,2,3, e 

 integrando fra 0 e 3, si ottiene la formula 



3 



• 0 



fxdx = - (fO + 3/1 + 3/2 + fS) + Kf, 



data da Newton nel 1711, e che è la prima di quelle di Cotes, 1722. Ma 

 l'espressione precedente del resto, ottenuto colle funzioni interpolanti, con- 

 tiene una lettera u , che è funzione incognita di x , ed il fattore che mol- 

 tiplica D 4 /'w cambia di segno entro i limiti d' integrazione. Si può ricono- 

 scere facilmente che se fosse u = x , non è permesso trasportare il D 4 f 

 fuori dell' integrale. Ma essendo u funzione incognita, nulla si conchiude 

 per questa via. La dott. Quarra, fatti i calcoli colla regola precedente, 

 conchiuse che si può effettivamente portare il D 4 f fuori dell' integrale e 

 si ha: 



D 4 fu f?K. , . 9 D*fu 



Rf=^fJ o x(x—l).(x- 2) 0 — 3) ùx = — : 



