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fino a — \ -jj , e quando f varia da 0 fino a — 1 ^ cresce da — ^ ~ 



A ti ó a. 



fino a 0. Per £ = 0 il pelo libero presenta dunque un flesso. Basta porre 

 di conseguenza £=0 nelle (I) per averne le coordinate. Si ottiene 



h . 8H „ , h 



X== n g ~h ' ^ = H +2- 



// ^wwtfo di flesso si trova sul livello medio (y — H -f- ^ spostato 

 dalla so olia verso valle di — log ^ . 



7T fi 



Dalle equazioni parametriche (I) ovviamente si scorge che il pelo li- 

 bero X è simmetrico rispetto a questo punto. 



Matematica. — Sugli integrali doppii. Nota di Guido Fubini, 

 presentata dal Socio C. Segre. 



In una Nota pubblicata in questi stessi Rendiconti (aprile 1907) ho 

 dimostrato nel caso più generale che, se f(oc,y) è una funzione definita 

 in un qualsiasi campo ff del piano x,y, allora ( ] ) vale la- 

 ti) \ f{ x ,y)da= \ dy \f{x,y)dx 



J(a) Ja J 



quando esiste il primo membro (e per conseguenza anche il secondo). Ho 

 così dimostrato che in ogni caso un integrale superficiale si può (ammesso 

 naturalmente che esista) trasformare in un integrale doppio. Sorge spontanea 

 la domanda se sia vero il teorema reciproco; se cioè sia lecito scrivere la 

 (1), quando soltanto si sappia che esiste il secondo membro, se cioè in ogni 

 caso un integrale doppio sia uguale a un integrale superficiale. Questa do- 

 manda include in sè l'esame dei casi più importanti, in cui è lecito Inver- 

 tire l'ordine delle integrazioni. 



Ad essa non mi è riuscito dare risposta, che supponendo nota a priori 

 la misurabilità della f{x , y) ( 2 J. Per funzioni f(x , y) non misurabili evi- 

 dentemente la (1) non ha significato: e del resto la limitazione così posta 



(M Qui e nelle seguenti pagine è s«n; ■ s Itinteso che un campo, a cui si estenda 

 una integrazione, sia misurabi.'' im alo. 



( a ) Kesta così ancora po. .a domai ., se ma funzione f(x ,y) misurabile come 

 funzione della x e misurabile come fi ' ; della y sia anche superficialmente misura- 

 bile; o più semplicemente, se un t , r>." di punti del piano (y , x), di cui sia misurabile 

 l'intersezione con una parallela all' imo o all'altro <icgli assi coordinati, sia anche super- 

 ficialmente misurabile. 



