— 585 — 



al nostro risultato non ha alcuna importanza per le applicazioni, perchè 

 nessun algoritmo analitico può condurre a funzioni non misurabili. 



Nel campo poi delle funzioni misurabili la risposta che si dà alla 

 nostra domanda è così semplice e fors' anche notevole, che sono indotto a 

 pubblicarla in questa Nota. 



Consideriamo i due integrali, che figurano nella fi) 



(2) Jj(x,y)dc 



(3) dy \f(x,y)dx. 



11 primo di essi gode di una proprietà (immediata conseguenza della defi- 

 nizione di integrali del Lebesgue), la quale, come vedremo con esempii, 

 non è sempre goduta da (3), che si enuncia così: Se esiste l'integrale (2), 

 esiste anche l'integrale della f(x,y) esteso a un qualsiasi {misurabile) 

 gruppo di punti a' subordinato di tr. Questa proprietà costituisce appunto 

 il nocciolo del nostro problema, come risulta dal seguente 



Teorema. — Condizione necessaria e sufficiente affinchè l'integrale 

 doppio j 1 dyjf(x,y) dx di una funzione misurabile f(x,y) esteso a un 

 campo limitato e misurabile o si possa considerare come l'integrale su- 

 perficiale f da della f esteso a a, è che esista lo j dy Jf dx esteso a 



un qualsiasi campo (misurabile) a' parziale di a. Cioè, allora e allora 

 soltanto che è soddisfatta questa condizione: 



1°) esiste l'integrale J f 'da' della f esteso a e, e quindi (per i ri- 

 sultati della mia Nota citata) 



2°) esiste anche l'altro integrale doppio J~ dx J f(x , y) dy ; 



3°) l'integrale superficiale, e i due integrali doppii citati sono 

 uguali tra di loro. E quindi in particolare nel calcolo degli integrali doppii 

 si può invertire l'ordine delle integrazioni. 



Resta così completamente trattata la questione di sapere fino a qual 

 punto sieno equivalenti i due concetti fondamentali del calcolo di « integrali 

 doppii « e di « integrali superficiali » . 



Daremo infine esempii di funzioni, per cui, pure esistendo un integrale 

 doppio esteso a un campo <r, non esiste il corrispondente integrale superfi- 

 ciale, e i due integrali doppii non sono uguali fra loro. 



Rendiconti. 1913. Voi. XXII, 1" Sem. 76 



