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È importante notare che la esistenza di f dy {f{x , y) dx porta di 



Ja J 



conseguenza l'esistenza dello stesso integrale esteso a un qualsiasi (misura- 

 bile) campo parziale a' di a in casi molto ampii: quando p. es. la f(x,y) 

 è limitata, od anche più generalmente quando la f(x , y) ha sempre lo 

 stesso segno (o tale diventa con l'aggiunta di una opportuna costante, ossia 

 quando la f(x , y) è limitata in un verso). Per tali funzioni dunque la 



sola esistenza di j" dy J f(x ,y) dx basta perché esista l'integrale super- 

 ficiale f da e sia uguale al precedente integrale doppio , e perchè sia 



Ja 



lecito nel calcolo di questo integrale invertire V ordine dèlie integrazioni. 

 Dimostriamo il teorema enunciato. Supponiamo esista 

 f d V ff( x i y) dx 



e che esista pure j'dyj'fdx esteso a un qualsiasi campo subordinato a'. 



Siano p , n i due gruppi di punti del campo a, ove la f{x , y) è rispettiva- 

 mente non minore, oppure minore di zero. Siano a r ,p r , n r Y insieme dei 

 punti di e, oppure di p, oppure di n, ove il valore assoluto di f(x,y) 

 non supera l'intero positivo r. 



Con (p , y) , (n , y) , (p r ,y) , ecc. intendiamo il gruppo ~dei punti co- 

 muni a una retta y = cost, e al gruppo p, oppure al gruppo n, oppure al 

 gruppo p r , ecc. 



Dall'esistenza supposta di j~ dy j*f(x , y) dx (si ricordi che p è un 



gruppo di punti subordinato di a) segue che per una retta generica y = cost 

 (cioè per ogni retta ?/ = cost, escluso al più un aggregato di misura nulla 

 di tali rette) esiste 



(5) f f(x, y) dx = lim ( f(x , y) dx (')• 



J{p,y) r =«>J(pr,y) 



Quindi : 



(6) J dy j*f(x ,y)dx = J d yj {p y) f ( x jy) dx = 



ÌL™ f f(x, y) dxl dy . 

 J(?r,y) J 



(*) Questa uguaglianza discende immediatamente dalla definizione di integrale del 

 Lebesgue. 



