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Poiché p r +i contiene p r , e la f(x , y) è in p non negativa, lo 



, f(x , y) dx 



è una funzione della x, che non decresce al crescere dell' indice r. Quindi 

 nella (6) è invertibile il segno di integrale col segno di limite, cosicché 



(7) (. dy f(x .y)dx = lim \dy\ f(x ,y)dx = 



J{p) J . r =*J J{pr,y) 



= lim I dy f(x ,y)dx . 



r=a>J{p r ) J 



Poiché in p r la f(x,y) è limitata, per il teorema della mia Nota ci- 

 tata, l' integrale del 3° membro della (7) vale ì' integrale superficiale 



f(x,y)dff della f(x,y) esteso al gruppo p r . Cosicché: 



(8) dy) f(x , y) dx = lim , y) da 



J(p) J J( Pr ) 



ossia, per definizione di integrale superficiale, 



1 . \ f( x , y)dx= f{x ,y)d(t . 



J(p) J J(p) 



Una formula analoga si dimostra per gli integrali estesi al gruppo di 

 punti n. Sommando, ed osservando che p -J- n = e, si deduce il nostro 

 teorema. 



Osservazione. — Se noi senz' altro applicassimo allo stesso campo cr 

 le considerazioni testé svolte per il gruppo p, vedremmo che per dimo- 

 strare la 



. f(x ,y)d<r = dy \f(x,y) dx 

 J{a) Jo J 



nell'ipotesi che esista il secondo membro, basta provare che 



lim \dy f{x,y)dx= lim f(x,y)dx \dy 



r—ao J J{(S r ,y) J I r—a> J[?r,y) _J 



nell'ipotesi che esista il secondo membro. Siamo così ridotti ad un problema 

 di invertibilità dei segni di integrale e di limite, cioè a un problema iden- 

 tico al problema dell'integrazione per serie, che ha avuto una trattazione 

 completa per opera del Lebesgue, di B. Levi, di G. Vitali. 



