.— 588 — 



Può essere interessante il notare con esempii come possa esistere l' in- 

 tegrale doppio J~ dy ^f(x , ?/) dx esteso a un campo ff senza che esistano 

 gli integrali analoghi estesi ai campi parziali, e quindi senza che esista il 

 corrispondente integrale superficiale f(x ,y) da . Proveremo pure che in 



tale caso non è generalmente lecito invertire l'ordine delle integrazioni. 

 Questi esempii serviranno anzi a porre in giusta luce il nostro risultato. 



Sia a un rettangolo con i lati paralleli agli assi coordinati ; dividiamo 

 un lato g parallelo all'asse delle x in infiniti segmentini g\,Qi,g%* ... ; 

 il primo dei quali sia la metà di g , e ciascuno dei segmenti g r sia con- 

 tiguo al precedente g r _ x ed abbia una lunghezza uguale alla metà di quella 

 di g r _i . Dividiamo corrispondentemente ogni corda di a parallela a g . Indi- 

 chiamo con g r anche la lunghezza di g r ; e con 



V(y) = Vito) + »My) + «My) + • ■ • 



una serie convergente ma non integrabile termine a termine, pure essendo 

 le ip(y) , ip r {y) funzioni integrabili definite per i valori di y corrispondenti 

 a punti di a. 



Costruiamo in a una funzione f(x , y) con questa legge. In un punto 

 di e. la cui proiezione su g cade entro g r , il valore della f(x,y) sia 



— ip r (y); il valore di f(x,y) in un punto di e, la cui proiezione su g 



ffr 



separi due segmenti consecutivi </ r _j,(/ r sia arbitrario. In altre parole f(x.y) 



valga — tpi(y) dentro il rettangolo h; avente per base il segmento e 



per altezza l'altezza di e. 

 Si trova facilmente: 



(9) 



(10) 



( f{x , y) dx = fi(y) + tft t (y) -\ = f(y) 



) dy IL y) fdx = JW y ) + ^.«^ h — \ d y = JV(y) d y 



f(x ,y)d<r — lim f(x , «/) oJc = 



= lim £ (dy ( f(x,y)dx = lim J }ìpi(y) dy. 



La (10) si può scrivere soltanto ammettendo die ne esista il primo 

 membro. E similmente si trova 



f, J{%,y)dy = — \xpi{y)dy 



J(a ,x) gi J 



I 



! 



