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appartengono a superficie di rotazione, quello seguito dal Servant al caso 

 in cui i ds 2 non appartengono a superficie di rotazione. Inoltre nella breve 

 Nota del Servant non è esposta la parte della ricerca che più interessa di 

 esaminare a fondo, l' integrazione cioè dell"equazione differenziale a cui egli 

 riduce il problema. 



Credo utile perciò pubblicare questa breve Nota in cui ritrovo insieme 

 i risultati del Bianchi e del Servant, accuratamente esponendo V immediata 

 completa integrazione dell'equazione differenziale nella quale traduco il pro- 

 blema di Bianchi. 



2. Se gli elementi lineari ds 2 e ds\ appartengono a coppie di superficie 



coniugate in deformazione, indicandone con — \ e — -~ le rispettive cur- 



ah) a k) 



vatura e con i rispettivi simboli di Christoffel, devono verificarsi 



( i i (Mi 



(ved. Bianchi, loc. cit.) le seguenti relazioni, necessarie e sufficienti, 



a.l.)i_Ul} (22) _ Ì22) 

 (2Ì~Ì2j, ' ( 1 j (•l). 1 



i U \ _ o ( 12 ( _ ( n ì o ( 12 ( j 22 j _ jl2j _ (22) _ (12) 

 |lj *[ 2 j ~ \ 1 l (2), ' (2) 1 1 | - l 2 fi J 



Uh' 



(1) 



lioo_£_ (12/ _ Dlogo, (12 

 ~òu (2) Dit (2 



^logg _ 2 (12/ = DÌogQ, _ 2 U2) 

 (lj ( 1 ii " 



Dalle prime quattro equazioni si deduce che nella corrispondenza fra 

 le due superficie si corrispondono le geodetiche, si potrà dunque (*) porre : 



ds 2 = {«(«) — fi{v)\ (du 2 + dv 2 ) . 



1 _ 1 ì t ^ 2 ■ ^ > 



<? designando una costante arbitraria. Assunti ds 2 e dsì sotto questa forma 

 riescono sempre soddisfatte le prime quattro delle relazioni (1), si tratta 

 dunque di determinare a{u) e in modo che riescano altresì soddisfatte 

 le ultime due : 



^ '-^^-=2 1^-2^ 



~>V 8 ?! ( 1 ) ( 1 il 



(*) Dini, Sopra un problema della rappresentazione geografica di una superficie 

 aopra un'altra, Annali di Matematica, tom. Ili, 1869; Darboux, Lecons sur la théorie 

 generale des surfaces, tom. Ili, cap. III. 



