— 591 



Ma si ha 



per cui le (2) equivalgono alla seguente unica relazione 



1 m(a + e) 2 (/? + c)> 



dove m designa una costante arbitraria. Poniamo 



a-\-c = a 2 , (3 -\- c = b 2 , 



si avrà 



! _ ( aa "— a>ì ) a% + i bb "— b ' 2 ) b * — ( aa "+ b * — ( bb " + b' 2 ) a 2 

 q 2 ~ (a 2 — b 2 f 



JL_ W — ab "ì ( a2 — b2 ) — 2ab ( a ' 2 + b ' 2 ) 



Ql~ a (a 2 — b 2 Y 



e la (3), se poniamo 

 a 2 a"{l — ma 2 ) — aa' 2 (2 — ma 2 ) = A, , b 2 b"(l — mb 2 ) — bb' 2 (2 — mb 2 ) = B, , 

 — a"(l — ma 2 ) + maa' 2 = A s , — b'\\ — mb 2 ) + wW 2 = B 2 , 



si traduce nella seguente equazione differenziale fra a e b : 

 (4) A 1 é + A 1 * 8 + «B 1 + « 8 B,= Q, 



che si tratta di integrare. 



Conviene ora esaminare separatamente il caso in cui il ds 2 appartiene 

 ad una superficie di rotazione dall'altro in cui non vi appartiene. 



3. Caso delle superficie di rotazione. — Si potrà supporre b 2 — cost. = 1, 

 risulterà Bj == B 2 = 0, e si deve ricavare a dalla seguente equazione diffe- 

 renziale 



Ai + A 2 = 0, 



che si scrive 



aa"(d 2 — 1) ( 1 — ma 2 ) = aa' 2 (2 — m — ma 2 ) , 



od anche 



a" _ 2aa' . maa' 

 a a 2 — 11 — ma 2 



da cui integrando si trae 



du j/l — ma 2 



da~° a 2 — \ 



