Si ha pertanto 



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ds 2 = e 2 -~ — ma ' da- + (a 2 — 1) dv 2 , 

 a? — 1 



ds ì — ^ \i i \ da 2 + - — 5— dv 2 , 

 a i {a 2 — 1) a 2 



e ponendo a 2 — 1 = r 2 , 1 \== r\ , 



Cd 



ds' 2 = c 2 ^ | ^ — w j + r2 > 

 = <? 2 1 1 — , m , | dr\ 4- dy 2 . 



V 1 — n ì 



È il risultato del Bianchi. Per m = 1 e c puramente immaginaria il 

 primo degli elementi lineari scritti appartiene ad una falda dell'evoluta di 



una superficie a curvatura costante positiva — — ; per m ={= 1 entrambi i 



ds 2 scritti appartengono a quadriche di rotazione 



4. Caso in cui le due superficie non sono di rotazione. — Si dovrà 

 allora cercare di soddisfare alla (4) con due funzioni a(u) e b(v), nessuna 

 delle due costanti. Se b non è costante sarà possibile scegliere due valori 

 Vi e Vi della v per modo che risulti b 2 (vi) 4= b z (vz). Scriviamo la (4) per 

 ciascuno dei due indicati valori della v, lasciando la u affatto variabile, 

 verremo così a scrivere due equazioni lineari e distinte a coefficienti eostanti 

 a'cui soddisfano le funzioni A! , A 2 , a , a 3 , equazioni che, potendosi risolvere 

 rispetto alle A t e A 2 , daranno 



\ Aj = c u a + c 12 a 3 , 



(5) A _i_ 3 



/ A 2 = c ìt a -f- c^a 3 , 



dove le Cu designano delle costanti. Introduciamo le espressioni (5) delle 

 A! , A 2 nella (4) e ordiniamo rispetto alle potenze a , a 3 ; la (4) così scritta, 

 se non risultasse nullo ciascun coefficiente nel detto ordinamento, esprime- 

 rebbe per ogni valore di v una relazione lineare a coefficienti costanti fra 

 le funzioni a , a 3 , circostanza questa che non può aver luogo per a diversa 

 da una costante. Segue da ciò che, come la funzione a(u) deve soddisfare 

 alle due equazioni (5), così la b(v) deve soddisfare alle seguenti due: 



\ Bj =è— c u b — c 2ì b 3 , 



(6) ( 



I B 2 = — c^b — Cab 3 . 



(') Per m — \ e c reale (positiva) il appartiene al catenoide di parametro c, 

 ma il ds 3 ad una superfìcie immaginària. Per un esauriente esame delle ulteriori circo- 

 stanze geometriche cfr. la N. c. del Bianchi. 



