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Che se poi J è finito superiormente (inferiormente) e y è il suo estremo 

 superiore (inferiore), esisterà il solo punto e' (e"). 



Supponiamo che y sia interno ad J in senso stretto o ne sia l'estremo 

 superiore (se J è finito superiormente), e consideriamo un valore qualsiasi y, 

 di J minore di y. Esisteranno certamente in I almeno due punti C\ e c 

 dove f(x) assumerà rispettivamente i valori y x e y : per fissare le idee sup- 

 poniamo La f(x) potrà ancora assumere il valore y in un numero 

 finito o infinito di valori dell" intervallo (<?, , e), oltre che nell'estremo c: 

 ma in ogni caso questi valori ammetteranno un minimo e'; perchè, se essi 

 sono in numero infinito e e' è il loro limite inferiore, in e la funzione con- 

 tinua f(x) assumerà ancora il valore y. 



È questo il punto c di cui si parla nell'enunciato. Infatti nel suo in- 

 torno sinistro (d , c') la f(x) non assume mai il valore y, tranne che in c' , 

 e quindi non vi assume neppure valori maggiori di y, perchè in C\ assume 

 un valore minore y, . 



Analogamente si dimostra l'esistenza del punto e", se y è interno ad J 

 in senso stretto e ne è l'estremo inferiore (se J è finito inferiormente). 

 Quel che più importa notare è che, se y è interno ad J in senso stretto, 

 i punti c' e c" esistono entrambi. (Possono anche coincidere, ed allora f(x) 

 è crescente o decrescente nel punto c = c"). 



Ciò premesso, supponiamo, giusta l'enunciato b), che f(x) ed F(x) 

 siano continue in I. Consideriamo un valore qualunque y di J e la corri- 

 spondente coppia di punti c' e c" or ora definita per la funzione f(x). Se y 

 non è estremo superiore di J, esisterà il punto c' ed in un suo intorno 

 (per esempio) sinistro la funzione y = f(x) assumerà valori tutti minori 

 di y, anzi questi valori esauriranno lutto un interno sinistro di y . A si- 

 nisira di c è pure continua F(a'), quindi dato un numero positivo e, risul- 

 terà, per tutti i punti di un intorno sinistro di c\ 



. | F(x) - ¥(c')\ = \g(f(x)) - g(f(c'))\ < e , 



quindi 



(i) \g(y)-g{r)\<* 



per tutti i corrispondenti valori y di f(x). Or restringendo (se occorre) 

 quell' intorno, i detti valori y finiranno per esaurire tutto un intorno sinistro 

 di y; dunque la (1) prova che g(y) è continua a sinistra di y. Analogamente 

 si prova, adoperando il punto c", che g(y) è continua a destra di y, se y 

 non è estremo superiore di J; ne segue che g(y) è continua in y, se y è 

 interno ad J in senso stretto. 



All'enunciato b) si può anche dare la forma seguente: se da una fun- 

 zione F(x), continua in un intervallo I , si elimina la variabile x col 

 porre y = f(x), ove f(x) è una funzione continua in I, il risultato g(y) 



