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La soluzione di questo III) caso è dovuta al senatore Volterra il 

 quale, dopo aver dimostrato che Q non può mai incontrare la retta a, co- 

 struisce per le tre coordinate le stelle di Mittag-Leffler e dà quindi lo svi- 

 luppo in serie. 



Ciò posto nella presente Nota io mi propongo di trovare la soluzione 

 generale del problema nominato, comunque siano disposti i centri fìssi P, 

 P 2 ... P n . Il metodo che adopererò sarà naturalmente diverso da quello ado- 

 perato dal senatore Volterra, giacché mentre egli fondava la sua soluzione 

 sull'impossibilità di un eventuale coincidenza di Q con P;, io dovrò fon- 

 dare la mia nello studio delle singolarità delle equazioni differenziali del 

 moto nell' intorno di una coincidenza stessa. 



Costruiamoci a tale scopo la funzione : 



(3) R = r x r 2 ... r n 



la quale, indicando con r, : la distanza QP,, è simmetrica rispetto alle coor- 

 dinate ai bid degli n centri; ed eliminiamo il tempo fra il sistema (1) e 

 l'equazione differenziale : 



Supponiamo che nell'istante ti il punto mobile Q venga a coincidere 

 con uno dei centri fìssi, ad es. P g : sia X Y il valore corrispondente di X, 

 certamente reale perchè la (4) (una volta scelta la costante arbitraria in 

 modo per es. che per t = 0 sia X = 0) fa corrispondere a valori reali del 

 tempo, valori reali di X A 



(') Sopra alcune applicazioni della rappresentazione analitica delle funzioni del 

 prof. Jl/ittag-Leffler, Nota del Socio Volterra, Atti della E. Accademia delle Scienze di 

 Torino, voi. XXXIV. Sarà inutile ricordare che, se Q giace inizialmente su a e la sua 

 velocità iniziale è diretta secondo questa retta, oppure se Q è costretto a muoversi sopra 

 una superficie di rivoluzione avente per asse ce, il problema si riduce alle quadrature. 



( 2 ) Sarà facile al lettore di dimostrare che variando t tra — oo e -j-oo anche A 

 varia tra — co e -f- oo e viceversa: tranne il caso speciale, privo d'importanza, in cui Q 

 coincida per tutti i tempi con uno dei centri P . 



Neil' istante dell'urto E — = 0. Ma abbiamo anche C ~: = = E ^ = 0 ; in- 

 dA dì? dX dt 



(iE 



fatti E diviene infinitesimo di primo ordine, e infinito di ordine \. Il temp" t non 



ha perciò nè un massimo nè un minimo per A = A, ; solo la curva £ = f(A) presenta una 

 tangente di flesso parallela alle ascisse. 



