— 678 — 



insieme con: 



(23) t= \\{q).dX{q)', 



ed essendo x y z regolari nel cerchio unitario le (22) saranno uniformemente 

 convergenti per \q\<C 1 • 



I coefficienti E x ~Fi ecc. sono conosciuti perchè sono date le coordinate 

 iniziali e la velocità iniziale di Q ed avendosi 



(24) E, [dq ) 9=0 ~ ("Ì) M0 ( dX )- A=0 ( dq ) ?=0 6CC ' 



Variando q tra — 1 e -\-\, X varia tra — oo e -j- 00 e quindi anche t 

 passa dal valore — oo al valore -f~ 00 (tranne, come si è detto, il caso privo 

 d'importanza, in cui la posizione di Q coincida perpetuamente con uno dei 

 centri P). 



Per lo scopo che e' interessa basterà far variare q tra 0 e 1 ; le (22) 

 ci daranno le coordinate xyz di Q e la (23) il tempo corrispondente, da 

 £ = 0 fino a t = oo. Il nostro problema è quindi rigorosamente risoluto. 



Riassumendo, abbiamo il seguente teorema: 



Adoperando una variabile indipendente q , opportunamente scelta, 

 le coordinate di un punto mobile Q, sottomesso all'attrazione di più centri 

 fissi Pi, sono esprimibili per mezzo di serie di potenze, convergenti per 

 \q\<C 1; ¥ quali rappresentano il movimento da t — — oo a / = + oo. 

 Questa soluzione è valida qualunque sia il numero di volte che il punto Q 

 viene ad incontrare, nel suo moto, uno qualsiasi dei centri fissi; benché 

 in tal caso la sua velocità divenga infinita. 



II tempo corrispondente ad ogni posizione, è dato da una quadratura. 



Possiamo utilmente confrontare questo risultalo con uno analogo, otte- 

 auto dal Sundman (') nel problema dei tre corpi; solamente, mentre le 

 forinole del Sundman suppongono che il momento delle quantità di moto 

 del sistema non sia nullo, le nostre sono indipendenti da qualsiasi ipotesi. 



Terminiamo questa Nota avvertendo che, con qualche limitazione, si 

 potrebbe estendere la nostra soluzione al caso in cui i centri fissi siano in 

 numero infinito; ma la brevità dello spazio non ci permette per ora di 

 svolgere questo concetto. 



(') Acta Mathematica, loc. cit. 



