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1. Il Ruffini ha certamente ragione affermando non vero il teorema 

 per un numero di lettere p non primo. 



Ciò si scorge osservando che, per p numero composto, fra le potenze 

 di Sp = (1 , 2 , . . ,p) ve ne ha di quelle che hanno periodo inferiore a p. 

 Il gruppo generato da una di tali sostituzioni è invariante per la S p , e 

 non contiene questa sostituzione. 



Nel caso di p primo il teorema è esatto, e ne farò qui la dimostra- 

 zione cercando, finché è possibile, di giovarmi solo di risultamenti noti al 

 Ruffini e di seguire un procedimento non dissimile da quello che egli stesso 

 usava adoperare. 



2. Lemma I. — Una sostituzione 



T= '/l, 2, 3,^ — 



la quale operi sopra non più di p elementi, non può essere permutabile 

 col ciclo 



S J) =(1,2,3,..., ? ) 



che comprende tutti questi p elementi, se non coincide con una potenza 

 di S p . 



Si ha infatti 



S-i T g = / 2 ' 3 • 4 P ' 1 \ 



' p p \a! 1 , a 2 -f- 1 , a 3 -f 1 , ... , Oj^i -f- 1 , « P -f- 1 / 



dunque, nella ipotesi di 



T — T S« < 



si dovrà avere : 



«2 = «1 + 1 , CC.3 == «2 + 1 , - , <*p == <*p-\ + 1 , 



cioè 



«2 = «i + 1 1 «3 = «i + 2 , ... , a p = cc l + — 1 ; 



da cui: 



rp__/l ,t 2 , 3 , p— 1 , p \_g«,-i 



\«iV«i-h l,«i + 2',...',«,+jB — 2,«,+.p~l/ f ' 



3. Corollario. — Se p è numero primo, ed una sostituzione T nei p 

 elementi 



1,2, ...^ 



non è permutabile col ciclo 



S p = (1,2,. ..,;;), 



si hanno p trasformate diverse della T , per le sostituzioni del gruppo 

 ciclico generato da S p . 



