— 681 — 



4. Lemma II. — Le sostituzioni diverse, trasformate mediante Sp 

 di una qualunque sostituzione T nei p elementi 1 ,2 , ... , p non permu- 

 tabile con S p , generano un gruptpo G transitivo. 



E di fatto, se, per effetto della T, al posto di 1 viene l'elemento a, 

 la trasformata 



TQ— a m na 

 a — ± O p 



al posto dell'elemento a porta l'elemento 2« e la 



TT a 



al posto dell'elemento 1 porta l'elemento 2a . 

 Così si vede che, mediante la operazione 



T T (m _i j a , 



al posto dell'elemento 1 viene l'elemento ma. 



Ma, essendo p primo ed « minore di p, i numeri 



a , 2a , ... , pa 



sono tutti incongrui rispetto al mod. p, e quindi per ogni r=p si può' 

 determinare un mét p, tale che 



ma = r (mod p), 



ed esiste una sostituzione del gruppo che fa passare l'elemento r preso in 

 modo qualunque fra i p elementi dati, al posto dell'elemento 1. 



5. L'ordine del nostro gruppo G è dunque multiplo di p od eguale 

 a p ('). 



Da ciò si deduce che il nostro gruppo contiene delle operazioni di 

 periodo p ( 2 ). 



(') Il concetto di transitività si deve a Ruffini; la proposizione qui ricordata è 

 contenuta implicitamente nell'art. 25 della Memoria; Della soluzione delle equazioni 

 algebriche determinate particolari di grado superiore al quarto (Mem. di mat. e di 

 fisica della Soc. ital. delle Scienze, tom. IX (Modena, 1802), pp. 444-526), nel quale ar- 

 ticolo egli dimostra che: eseguendo tutte le sostituzioni di un gruppo transitivo, in ogni 

 determinato posto deve venire ciascuna delle m lettere, e ciascuna uno stesso numero 

 di volte. 



( 2 ) Il caso particolare del Teorema di ò'ylow, che qui occorre di considerare, era 

 noto a Ruffini, il quale nella Teoria delle equazioni (1799) al n. 274, lo ha dimostrato 

 per p = 5, e, nella Memoria: Alcune proprietà generali delle funzioni [Mem. di mat. 

 e di fis. della Soc. ital. delle Scienze, tom. XIII, parte l a (1807) nn. 40-41] ha in ge- 

 nerale dimostrato che; se un gruppo di operazioni (due a due permutabili) ha ordine 

 n = abc ... ; essendo a , b , c numeri primi tutti diversi, contiene anche operazioni 

 di qualunque periodo divisore di n. 



