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6. Bimane così dimostrato, con sole considerazioni tolte dalle Memorie 

 di Ruffini, il teorema: 



Se p è numero primo, ed un gruppo G di sostituzioni sopra p let- 

 tere contiene tutte le trasformate di una sostituzione T in quelle lettere 

 mediante il ciclo 



S p =;(l , 2 p). 



contiene almeno un ciclo 



T== («j , « 2 ... a p ) 



di ordine p. 



Questo teorema potrebbe bastare per le applicazioni che ne fa Ruffini 

 alla teoria delle equazioni: volendo tuttavia completare la dimostrazione 

 del teorema nella forma enunciata dallo stesso Ruffini ; nel caso che la so- 

 stituzione 



x = («! . a 2 , ... , a p ) 

 della quale abbiamo constatato l'esistenza nel gruppo 



G = j 1 . T , T, = S; 1 T S,, V, = S/ +1 T S p ~ l l 



non sia una potenza di S p , dovrà la stessa r risultare dal prodotto 



r = T r , T Tì ... 



di alcune delle T , T ì T p _i ; perciò nel gruppo G è contenuta anche la 



trasformata di t mediante S p . 



Se ora si considera che, per essere p primo, la massima potenza di p 

 contenuta in 1.2.3...^, è la prima, vediamo chetale è anche la massima 

 potenza di p contenuta nell'ordine del nostro gruppo, ma allora il gruppo G 

 contiene anche la sostituzione S p che trasforma luna nell'altra le due 

 operazioni affini 



come appunto volevamo provare ( 1 ). 



7. Risulta così dimostrato il Teorema di Ruffini: 



Se un gruppo G di sostituzioni nei p elementi 1 , 2 . ... , p contiene, 

 insieme con una sostituzione T anche tutte le trasformate di T mediante 

 potenze di S p = (1 , 2 , 3 p)\ la S p medesima sarà contenuta nel gruppo G. 



8. Ruffini attribuisce speciale importanza alle sostituzioni della forma 



S„ = (l ,2.3,... ,n) « = 1,,2,3 p, 



(*) Ciò per il secondo teorema di Sylow, cfr. L. Bianchi, Lesioni sulla teoria dei 

 gruppi di sostituzioni (Pisa, 1900), pag. 61. 



