— 758 — 



A questo scopo, teniamo conto che B, = l e che, in conseguenza delle 

 due espressioni (3) di B,, è 



Bt ., . * > B t _ t = — Bj_, + 



»(*'+ 1) + 1) (2* + l) 1-1 1 (2i+l)»!(»+l)I 



ossia 



2 1 

 (5) Bi ~~ (i+l)(2i+l) Bi -' = (2t + l) il + ' 



Queste equazioni (5) sono soddisfatte dai valori (3') delle B< e fissato il 

 valore di B 0 = 1, non ammettono alcun'altra soluzione. Dunque ecc. 



2. Inversione di alcuni integrali. — Trascurando di occuparci della 

 prima delle (2) dalla quale, del resto, si ricavano analoghe conseguenze che 

 dalla seconda, osserviamo che a quest'ultima si può dare la forma 



(20 - x 0 ) = r i m*i-*)i.(so — ^ 



dx 



e mostra subito, con l'aiuto della nota formola d' inversione d' integrali di 

 Dirichlet, che le due equazioni: 



(6) a>(x 0 ) — O>(0) = J (f (x) l 6 (x 0 — x) dx 



(7) <p(x 0 ) = ®'(x 0 ) — r°l^(x) - <D(0)] l ^ x <>- x) dx 



sono l una conseguenza dell'altra. Ciascuna di esse è un'equazione integrale 

 di cui l'altra offre la soluzione. 



Proponiamoci ora di trovare la funzione g>(x) che soddisfa all'equazione 



(8) <^(^o) = ^(^) Ii("#o — %) dx 



in cui, per semplicità, abbiamo, senz'altro, indicato con <P(x 0 ) una funzione 

 nota che si annulla per x 0 = 0 insieme alla derivata prima. Perciò inte- 

 griamo, una volta, l'equazione (8), rispetto ad x 0 da 0 ad x 0 ed un'altra 

 volta, deriviamola rispetto alla stessa variabile. Si trovano così le due equa- 

 zioni : 



r*o p*o f^o 



(9) (p(x) l 0 (x 0 — x) da; — <p(x) dx = I ®{x) dx , 



(10) 4>'(x.) = ) \(x) J[(x 9 — x) dx = 



== P"y(*) ["i.^. - *) & \ dx ■ 

 I ^ I 



