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Da queste due equazioni si ottiene l'altra 



f — dx — \ dx = r°(P{x) dx — <t>'{x 0 ) 



la quale, moltiplicata per I 0 (cc, — x 0 ) dx 0 ed integrata, rispetto ad x 0 , fra 

 0 ed Xi , ci dà 



I y(a-) — x) dx — l 0 (xi — x 0 )dx 0 I <p(x)dx = 



= — <P(a; 1 )-)-J^ d>(a;) dtf j" I 0 (#i — #0)^0 — Ii(#i — x \^' 



E questa equazione con l'aiuto della data (8), diventa 



ra>i rcc 0 



(11) I 0 (xi — x 0 ) dx 0 <p(x) dx = 2 ®(xi) -f- 



+J~ £>(cc) da? |~Ii(#i — a?) — J l 0 {xi — x 0 ) dx 0 ~^. 



Essa è dello stesso tipo della (6): e possiamo avere, quindi, facilmente, prima 



rea 



J <p{x)dx e poi <p(xi). Si ottiene la funzione g>(x), pervia più semplice, 

 osservando che, a causa della (9), 



d r^ 1 C x " d C Xl C Xl 



- — I 0 («i — x 0 ) dx 0 g>(x) dx = -, — <p(x) dx l 0 {x 1 —x 0 )dx 9 = 

 axi J 0 J 0 dxi J v Jx 



rxi r«i rea 



= g>(x) l 0 (xi — x) dx — (f{x) dx -f- <I>(x) dx . 



Basta, perciò, derivare la (11) due volte rispetto ad X\ per avere 



(12) + 2*%*) r i <P(x) U ^ ~f> dx. 



3. Integrazione dell'equazione delle onde smorzate. — L'equazione 

 delle onde smorzate è l'equazione 



(13) ^ = «^ + 2/^ 



con c 2 , a % e /? costanti positive; ed è l'equazione che regge la propagazione 

 delle onde in un mezzo dispersivo. La difficoltà sostanziale della integra- 

 zione della (13) col metodo delle caratteristiche consiste nell'inversione di 

 un certo integrale, precisamente nell'inversione di un integrale del tipo (8), 



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