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e che fin'ora era stata conseguita ricorrendo ai teoremi più generali come 

 quelli del Volterra. Noi parliamo dell'equazione delle onde smorzate perchè 

 questa è la più rappresentativa del suo tipo. In effetti, contemporaneamente 

 alla (13), noi eseguiamo l'integrazione di ogni equazione lineare a coefficienti 

 costanti che contiene le derivate seconde come la (13), ma che può conte- 

 nere anche tutte le derivate prime e la funzione incognita. 



Ponendo, nella (13), xp = e « 3 cp, e cambiando proporzionalmente x ,y, 

 z,t, possiamo ridurre la (13) alla forma 



(14) ^-^ + ? = 0. 



È di questa equazione che ora noi vogliamo occuparci. Se indichiamo con 

 2 una varietà regolare e chiusa nello spazio lineare a quattro dimensioni 

 {x ,y , z , t) e poniamo 



(lo) Dg> = — — cos nx -\ — — cos mi -A cos nz cos nt , 



' ~òx 1 1y v 1 iz !>t ' 



per cui D(p è il simbolo di derivata conormale a 2, ossia della derivata 

 nella direzione simmetrica alla direzione normale (interna) a 2 rispetto al- 

 l'asse t, secondo la notevole denominazione ed osservazione del d'Adhémar, 

 vale il teorema di reciprocità, per la (14), nello spazio ricordato (x,y,z,t), 



16) J^O'Dy — y>D(p'^d2=0, 



in cui <p e g>' sono due integrali della (14) regolari nell'interno e sulla va- 

 rietà 2. 



Sia ora 2 una varietà regolare aperta che sia incontrata in un punto 

 solo da ogni parallela all'asse t quando non si riduca ad una porzione di 

 varietà cilindrica con le generatrici parallele allo stesso asse. Consideriamo 

 quindi una porzione S4 dello spazio {x , y , z , t) limitata dalla varietà co- 

 nica C: 



a{t x — l) = f/(ar, — xf + (y x - yf + (z l -zf = r, 



dove X\ , yi , z y , ti sono le coordinate di un punto fisso, dalla varietà cilin- 

 drica e : 



(x, - xf + (y, - yf + (*, - zf = e» , 



e essendo una quantità che poi faremo tendere a zero e da una porzione 

 di 2; e supponiamo, per fissare le idee, che in S' 4 sia t x >-t. Applicando 

 la (16) in questa regione, nell'ipotesi che g> sia un integrale della (14) 



