— 766 — 



11. Per n qualunque il fenomeno non si presenta più allo stesso modo, 

 e una completa discussione non è troppo semplice. Se però si suppone che 

 le c r , e di conseguenza le k r in base alla (5), sieno molto vicine fra loro, 

 e precisamente così vicine da poterne trattare i divarii come quantità di 

 primo ordine, riesce possibile soddisfare alle (9), qualunque sia il numero n 

 delle onde cbe compongono il gruppo. Infatti, per l'ipotesi, le e si potranno 

 presentare sotto la forma 



e -f- Yr de , 



essendo e un loro valore medio, le y r costanti arbitrarie e de trattabile alla 

 stregua dei differenziali. Ne consegue 



k r = k + ^ yr de (r = 1 , 2 , ... n) ; 



e la (9) diviene in conformità, a meno di termini in de" 1 : 



k(v — e) -f- j {v — c) ^ — k | yr de = cost 



clie fornisce per v l'espressione 



d(kc) 

 v ~ dk 



rilevata da Lord Ra3 r leigh, e da lui chiamata velocità di gruppo. 



12. Teorema di Reynolds. — Applichiamo ad un gruppo di onde sem- 

 plici (di velocità poco diversa) le considerazioni energetiche svolte nei nu- 

 meri 1-7. 



Rispetto agli assi Sìx*y*, animati della velocità v, il regime di moto 

 ha carattere periodico. Si può dunque ritenere nullo (n. 7) il valore medio 

 del flusso di energia meccanica, dovuto al nostro moto ondoso, in quanto si 

 riferisca a tali assi. Sarà nullo, in conseguenza, il valor medio [U*] della 

 corrispondente velocità. 



D'altra parte la velocità assoluta U, riferita cioè ad assi immobili sul 

 fondo, è legata ad U* dalla forinola generale (3). Nel caso attuale la ve- 

 locità di trascinamento % non è altro che la velocità di gruppo, cioè v .J, 

 J rappresentando un vettore unitario nel senso positivo dell'asse OX . 



Si ha dunque 



U = u* 4- v J 



e, prendendo i valori medi, 



[U] = rJ; 



da cui apparisce che la velocità (media) con cui si trasporta l'energia, 

 coincide colla velocità di gruppo. C. d. d. 



