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Matematica. — Sulla equivalenza dei poliedri. Nota del 

 prof. Onorato Nicoletti, presentata dal Socio U. Dini. 



Due poliedri P , P' (o due aggregati poliedrici) si dicono, come è noto, 

 equivalenti, quando è possibile decomporli in un numero finito di poliedri 

 congruenti (equivalenza per somma) oppure quando sono differenza di due 

 tali aggregati (equivalenza per differenza). Se P , P' sono due tali aggregati, 

 tra i loro angoli diedri ed il diedro piatto deve aver luogo, come il Dehn 

 ha dimostrato, almeno una relazione lineare omogenea a coefficienti razio- 

 nali ; e poiché si hanno esempì di aggregati poliedrici di ugual volume, 

 per i quali nessuna tale relazione può aver luogo, è chiaro che l'uguaglianza 

 di volume di due aggregati poliedrici non è condizione sufficiente per la 

 loro equivalenza ('). 



Ma è facile vedere (riprendendo e completando i ragionamenti del Dehn) 

 che, se due aggregati poliedrici P e P' sono equivalenti, non solo i loro 

 angoli diedri e l'angolo piatto, ma, in generale, anche i loro spigoli sono 

 legati da una o più relazioni lineari omogenee a coefficienti interi ; è possibile 

 inoltre caratterizzare in modo semplice e notevole il sistema di tali relazioni. 

 Si ottengono in tal guisa per l'equivalenza di due aggregati poliedrici, oltre 

 quelle del Dehn, altre condizioni necessarie, delle quali, conviene dirlo 

 esplicitamente, l'uguaglianza di volume non è, in generale, conseguenza. 

 Aggiungendo questa ulteriore condizione, si ottiene un sistema di condizioni 

 necessarie e sufficienti per l'equivalenza di due aggregati poliedrici? A questa 

 interessante questione non mi è riuscito di rispondere. 



Mi permetto di comunicare alla R. Accademia i risultati della mia 

 ricerca, riserbandomi di darne in altro luogo le dimostrazioni. 



1. Sia P un poliedro od un aggregato di poliedri, e siano s 1 ,s 2 ,.,. s„ 

 le misure dei suoi spigoli, c t , a t , ... a n quelle degli angoli diedri corrispon- 

 denti (essendo ad es. n la misura del diedro piatto). Diremo che il modulo 

 \ Si , Sì , ... s» \ = j S ( degli spigoli del poliedro P ha la dimensione r e 

 scriveremo anche [S] = r, quando tra le Si , s 2 , ... s n hanno luogo h — r 

 e non più relazioni lineari omogenee, indipendenti, a coefficienti razionali, 

 o, ciò che è lo stesso, quando le Si , s 2 , ... s n possono esprimersi linearmente 

 ed omogeneamente, con coefficienti razionali, per r quantità f 1 , £ 2 , ... £ r , 

 ma questo non è possibile per valori minori di r. Analogamente, detta s 



(') Cfr. Dehn, Ueber dem Rauminhalt (Math. Annalen, Bd 55, S. 465). Per la bi- 

 bliografia sull'argomento consulta: Arnaldi, Sulla teoria della equivalenza in Questioni, 

 riguardanti le matematiche elementari di F. Enriques (Bologna, Zanichelli, 1912, voi. I, 

 pp. 173-190). 



Rendiconti. 1913, Voi. XXII, 1° Sem. 100 



