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la dimensione del modulo ]2\ = { <r 1 , cr 2 , ... a„ \ dei diedri di P. le c lr 

 <r 2 , ... o"« si esprimeranno linearmente ed omogeneamente, ancora con coeffi- 

 cienti razionali, per s quantità rj l , rj 2 , ... t] s . 



n 



Consideriamo ora l'espressione y i s i (T i ; esprimendo le per le le 



i 



e, per le ??, essa diventa una forma bilineare, a coefficienti razionali, nelle £ 



a 



e nelle r}, e può razionalmente ridursi ad una forma normale y t f t <p t 



1 



(con a <. r , a^s), essendo le fa ...fa. {(fi ,<p 2 , ... (fa) delle combinazioni 

 lineari omogenee, indipendenti ed a coefficienti razionali, delle Si ... s n 

 (delle crj ... c n ). In altre parole, ciascuna fa((pi) appartiene al modulo jS{ 

 ed i moduli jF{ = )/, fa ... fa\ , = |<jpi g>n ••• <p*\ hanno la dimen- 

 sione a. 



a_ 



Una tale forma ridotta fa <p t è determinata a meno di una sostitu- 



1 



•/ione lineare omogenea, non degenere, a coefficienti razionali, sulle fa fa, ...fa 

 e della contragredi ente sulle </>i ... (p a ; il numero a dei suoi termini si dirà 

 il rango del poliedro (0 dell'aggregato poliedrico) P, i segmenti f x ...fa, 

 ed i diedri y x , y> 2 , ... <p a segmenti e diedri caratteristici. 



Ad es., un poliedro regolare, per il quale sia s il numero degli spigoli, 

 l la misura dello spigolo, l quella del diedro, ha come forma ridotta slX; 

 un prisma, di cui sia / lo spigolo, Si , s 2 , ... s n i lati di una base, ha come 



forma ridotta ] 2_ { Si -\- l(n — 2y,n = fn\ un tetraedro triretlangolo iso- 



scele, di cui si dica l la misura dello spigolo di un diedro retto ed a il 

 diedro acuto (che è incommensurabile con n) ha come forma ridotta 



3/j/2a' + 3/ ecc. 

 2. Ciò premesso, siano P e P' due aggregati poliedrici equivalenti (per 



a a/_ 



somma 0 per differenza), si dicano a , a i loro ranghi, T_ t fa g> t , fi <p' u 



due loro forme ridotte. Un ragionamento analogo a quello del Dehn dimostra 

 il teorema fondamentale : 



Tra i segmenti caratteristici dei due aggregali poliedrici hanno luogo 

 una 0 più relazioni lineari omogenee a coefficienti razionali interi 

 Tutte le relazioni di tale forma siano le 



(1) f') = Q (i = \ ,2, ...?<« + «'). 



È possibile determinare un sistema fondamentale di soluzioni razionali 



(') Può fare eccezione il solo caso in cui si abbia a = «' = 1 ,q> = q>' = n. 



