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Matematica. — Sulle serie algebriche semplicemente infinite 

 di gruppi di punti appartenenti a una curva algebrica. Nota di 

 Ruggiero Torelli, presentata dal Socio E. Bertini. 



1. Una curva G p di genere p possiede sempre serie algebriche oo 1 , non 

 costituite di gruppi equivalenti, aventi il genere ^ p ; ma non ne possiede, 

 in generale, di genere <j> . Allorquando una serie siffatta esiste, la varietà 

 jacobiana Y p di G p possiede due congruenze d' indice 1 di varietà picar- 

 diane, perfettamente determinate dalla serie stessa (*). Queste congruenze 

 sono mutate in sè dalle trasformazioni (di l a e 2 a specie) di Y p ; la somma 

 delle loro dimensioni è p. 



2. Una delle dette congruenze si può costruire nel seguente modo : 

 Sia Yn la nostra serie, di ordine n e genere n<ip; una curva ima- 



gine di essa. Presa su G p una generica serie lineare g n Z+ P i °& n i ^-pia di 

 gruppi di Yn na P er residuo nn gruppo di p punti. 



Questi residui formano una serie 'co*- 1 (o = i<^n), rappresentata 



in V p da una varietà {irriducibile) picardiana V\ che, al variare della 



9nZ+ P i descrive appunto una congruenza S di indice 1, mutata in sè dalle 



trasformazioni diY p . Si debbono ora distinguere tre casi: 



a) una generica n-pla di gruppi di y\ '^n è equivalente ad alcuna 

 altra n-pla. Allora le V sono birazionalmente identiche alla varietà ja- 

 cobiana V-rc- di T-r.; 



b) una generica n-pla di gruppi di y\ è equivalente ad altre s — 1. 

 Allora le V hanno la dimensione n\ e sono bir. identiche a una ben de- 

 terminata involuzione I s , di ordine s, di V TC , mutata in sè dalle tras- 

 formazioni di l a e 2 a specie di V^; 



c) una generica n-pla di gruppi di y\ è equivalente ad altre co 1 . 

 Allora le V hanno la dimensione n — i; e sono bir. identiche a una ben 

 determinata congruenza d'indice 1,2, di varietà picardiane W ( - (even- 

 tualmente riducibili) di V x , mutata in sè dalle trasformazioni di l a e 2 a 

 specie di V TC . 



Si noterà che due punti di coniugati in I s (nel caso b), ovvero ap- 

 partenenti a una stessa W ( (nel caso c), sono imagini di due rc-ple equiva- 

 lenti di gruppi di Yn- 



( l ) Come risulta da considerazioni di Castelnuovo. (Questi Rend , voi. XIV, 1905). 



