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Si noti pure che colla precedente costruzione resta individuata, a meno 

 di trasformazioni di l a specie, una corrispondenza biunivoca & fra una 

 qualunque V e risp. o I £ o 2 . 



3. Poniamo in una stessa classe due serie quando sono riferibili biuni- 

 vocamente gruppo a gruppo, in guisa che la somma o la differenza di gruppi 

 omologhi vari in una serie lineare. E chiaro allora che le serie di una stessa 

 classe presentano contemporaneamente tutte o il caso a) o il b) o il c) ; e 

 anzi individuano nella V p , nel senso spiegato al ri. 2, la stessa congruenza S. 



Possiamo allora domandarci di collegare ciascuno dei tre casi che può 

 presentare una classe di serie, coll'esistenza nella classe di serie dotate di 

 qualche particolarità. Di tal questione, che mi si è presentata in varie ri- 

 cerche di geometria algebrica, mi sono occupato in un lavoro di cui ho testé 

 ultimato la redazione. Enuncio qui i principali risultati ottenuti (') ; essi ri- 

 solvono esaurientemente la questione per le classi contenenti una involuzione. 



Per ovvie ragioni possiamo intanto escludere dalle nostre considerazioni 

 le classi determinate dalla serie in cui ogni gruppo è equivalente a qualche 

 altro gruppo; ovvero dalle serie costituite dai gruppi di un'altra serie, 

 pensati ciascuno più volte. Le serie del 1° tipo, se di genere ^> 1, presen- 

 tano il caso e); quelle del 2° il caso b) o il c). 



4. Cominciamo dall'indicare una semplice costruzione di curve Cp con- 

 tenenti una serie bir. identica a una data curva r n . 



Si prenda perciò entro la varietà jacobiana V x di i\ una curva Cp. 

 Su questa le V^-i di , imagini dei punti di , segano appunto (in ge- 

 nerale) una certa serie y, bir. identica a T n . Orbene, si dimostra facil- 

 mente che : 



Se G p è immersa in una varietà picardiana, di dimensione <dn, 

 contenuta in Y n , la y "presenta il caso c); altrimenti presenta il caso a), 

 ovveno il b). 



5. Ciò posto, si hanno i seguenti criteri: 



I. Se ira le serie di una clasìe non ve ne alcuna composta con 

 una involuzione, esistono nella classe infinite serie costruibili come al n. 4. 



II. Se tra le serie di una classe v è una involuzione ciclica ( 2 ) 

 priva di coincidenze, le serie presentano il caso b). Ogni n-pla di gruppi 

 di una di esse è equivalente ad altre e — 1 n-ple, se t è l'ordine e ti il 

 genere dell' involuzione. 



III. Se tra le serie di una classe v è una involuzione non composta, 

 che non sia una involuzione ciclica priva di coincidenze, le serie pre- 

 sentano il caso a). 



IV. Se tra le serie di una classe ve n è una composta con una in- 

 voluzione, si può presentare ciascuno dei tre casi a) b) c). Si può allora 



(') Dei quali in altro prossimo lavoro indicherò varie applicazioni. 



( a ) Generata cioè da una corrispondenza biunivoca ciclica della curva sostegno. 



