— 774 — 



ricondurre la questione all'analoga per serie del tipo indicato al n. 4, o 

 •per involuzioni non composte. 



6. A proposito del criterio I, rileverò che, data su una curva C una 

 serie y, non composta con una involuzione) si può facilmente decidere se nella 

 classe individuata da y esistono serie composte con una involuzione. E 

 precisamente: presa una curva r bir. identica a y, quest'ultima indi- 

 vidua su r una serie / bir. identica a C : se, e solo se, ogni gruppo di 

 y è equivalente ad altri gruppi di y' , la classe individuala da y contiene 

 serie composte con una involuzione. 



7. Rispetto alle curve contenenti un'involuzione (irrazionale) noterò 

 anche la seguente proprietà: 



Tra le serie di una classe vi sia una involuzione J , e si considerino 

 le varietà Z , Ti x segate su una qualunque delle Y\ di cui si parla al n. 2, 

 da due Y p ^ di Y p , imagini di due punti di 0 P coniugati in J . Allora 

 si ha Z = Z 1( ovvero «Z = «Z!, secondochè J presenti il caso a) o il b). 



8. Si noti pure che : 



Le serie che presentano il caso c) non possono essere a moduli generali. 



Esse sono caratterizzate dal fatto che p — n -\-i integrali di 1" specie 

 indipendenti della curva sostegno forniscono, sommandone i valori nei 

 punti di un gruppo variabile, somme costanti. Non possono mai essere in- 

 volutorie. 



9. Le considerazioni del n. 2 si invertono nel seguente modo : 



Se la varietà jacobiana Y p di una curva G P possiede una congruenza 

 d'indice 1,S, di varietà picardiane Y' (mutata in sè dalle trasfor- 

 mazioni di l a specie di Y p ), esistono su G p (e si determinano tutte) 

 infinite classi di serie che individuano in Y p , colla costruzione del 

 n. 2, la data congruenza S. E più precisamente : sia assegnata una cor- 

 rispondenza biunivoca 0 fra una delle Y' e la varietà jacobiana Y^ di 

 una curva ; ovvero fra quella Y' e una involuzione I s o congruenza 

 d'indice 1 , 2, di Y^ ; I £ o 2 essendo mutala in sè dalle trasformazioni 

 di J a specie di Y^. Allora esistono su G p (e si determinano tutte) infinite 

 serie y , appartenenti a una stessa classe e bir. identiche a , le quali 

 individuano in Y p la data congruenza S; e fra quella V e Y^ o I £ o 2 

 subordinano la data corrispondenza 0, nel senso detto in fine del n. 2. 



Osservazione. — Una varietà picardiana V-* possiede, per ogni valore 

 dell' intero w , una ben determinata involuzione di ordine w ì7: (che indiche- 

 remo con J w ), bir. identica ad essa, i cui gruppi sono costituiti dai punti 

 to-pli delle g^~ l di V 77 ( 1 ). Orbene, occorre notare (ved. n. 3, fine) che: 

 1) Se l'involuzione I £ , o la congruenza 2, di cui parla l'ultimo enun- 

 ciato, è una J u entro , o entro una involuzione o congruenza d' indice 1 

 di Yn (l'invol. o la congruenza essendo mutata in sè dalle trasformazioni 



(') Castelnuovo, loc. cit. 



