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per qualunque valore di x, e per n maggiore d'un certo numero v suffi- 

 cientemente grande, e se la funzione 



(3) 2_ a n z n 



è olomorfa; allora la soluzione della (1) ottenuta col metodo di iterazione, 

 è espressa, qualunque sia X , dalla : 



(4) 9 (x) = f{x) — X N(^) ffa) dy, + 



+ X 2 ^(xy^dy, K(yiyi)f{y*)dy t 



Naturalmente la N(#y) g>{y) deve essere integrabile. 



Si deduce subito la validità incondizionata dello sviluppo nel caso di 

 Volterra. 



Teorema II. — Se le condizioni del teorema I sono soddisfatte solo 

 in un certo intorno di x = 0, lo sviluppo (4) sarà valido, qualunque sia X, 

 in quell'intorno. 



Teorema III. — Se la serie (3) non è olomorfa, ma le condizioni 

 del teorema I sono soddisfatte qualunque sia x, la soluzione (4) è certa- 

 mente valida solo per X<^g, in cui g è il limite inferiore dei raggi di 

 convergenza delle serie: 



0 



Teorema IV. — Se le condizioni del teorema precedente sono soddi- 

 sfatte solo in un certo intorno di x = 0 , la (4) è valida certamente, solo 

 per valori di x compresi in queir intorno, e per valori di X vincolati dalle 

 condizioni del teorema III. 



Teorema V. — La soluzione non esiste, almeno sotto la forma (4), 

 se le condizioni del teorema IV non sono verificate in nessun intorno di 

 x = Q. 



Nel caso particolare che g(x) = x m , lo sviluppo trovato è certamente 

 valido, solo: 



1°) se X <" - — - — , m <T 1 ed x è qualunque; 

 ' 1 — m 



2°) x e X qualunque, m = 1 ; 



3°) x < 1 , X qualunque, m > 1. 

 Chiamiamo ora condizioni J le condizioni di esistenza della (4) e di 

 integrabilità della ì$(xy) (p(y). Supponiamo di aver assegnato un insieme 

 di funzioni y p , che, poste in luogo di g(x) nella (1), diano come soluzioni 

 della (1) lo sviluppo (4) corrispondente, in un certo intorno ( — £',-)-£") 

 di x = 0, qualunque sia X . 



