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Sia data poi una funzione h(x), che, posta in luogo della g(x), soddisfi 

 le condizioni J e che inoltre: 



a) esista una successione di intervalli ( — »?, £])...( — j^fp)...; 

 per cui: 



\g{x)\^\y P {x)\ ; — 



b) l'insieme % Y ... ? p ... ammetta come limite inferiore X; e l'insieme 

 — Vi ••• — Vp — come limite superiore — Y. Allora si ha il 



Teorema VI. — Lo sviluppo (4), relativo alla h(x) presa come limite 

 superiore dell'integrale nella (1), sarà valido, qualunque sia k, per x con- 

 tenuto nella parte comune a ( — £',-}"£") ( — Y , X). 



Si può dimostrare così la validità della (4) per g(x) eguale, ad es., a 



sen ctx , 1 — cos ax , e ax — 1 , sen (sen x) , ... , R(x) 



ove R sia una funzione continua, che sia nulla per x = 0, e che a destra 

 ed a sinistra del punto x = 0 ammette numeri derivati finiti. 



2. Come esempio di equazioni (1) la cui soluzione può non esistere 

 per certi intervalli, ed esistere invece in altri, considero quelle ottenute 

 ponendo 



g{x) = x , x é- i ; g{x) =1 , x > {- ; 



oppure 



g(x) = 0 , x <. 0 ; g(x) = x , 0 <. x <- | ; g(x) = l — x . x>.\. 



Imponendo ad f , ?. ed N alcune condizioni, la soluzione delle equazioni 

 corrispondenti alla prima forma di g esiste solo per x <. |- ; mentre quella 

 corrispondente all'altra, esiste per x =|= — I ed x<C£, ove — £ è un punto 

 in cui la f(x) perde significato. 



Ponendo successivamente 



(5) VL(*y)= W^ -, 



X3(xs)f(s)ds 



ove U sia un nucleo regolare; 



(6) 



