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compresi fra (0,1), e se 2b r X r =$=0; supporremo che essa P sia continua. 

 Se invece si considerasse l'equazione omogenea 



(10) 



SP(x) + X N(ay) <p(y) dy = 0 



Posto 



Ti 



\(m) l Xl ••• X " l\ 

 \tfl - Vn ì 



_ ? x_ r 1 r 1 

 ~ - 0 - si J„ Jo 



rauice r-pia ai 



O r a, = U . 



P(*ì'yi) • • • 



• P(#i St) 



P(iCni-iyi) • • 





M(o5 M y,) M(x m y 2 ) 



... M(x m s t ) 









■ P(* t *t) 



o5si ... 6?Sf (r > m) 



e scelti fi ... £ r , ^, ... r/ r tali che i determinanti D di Fredholm relativi 

 al nucleo P diventino 



d, (*' a\=o , ... , D r _, É - *' a ) = o , D r ( f 1 - ^ W 0 o ; 



soddisfa 



avremo, supposte verificate le condizioni sopra enunciate, il 



Teorema X. — La funzione 4>Jx) = % m) ^ ' ' x " ^ r x\ 



\7]i iy 8 ...ij m ...tj r f 



all'equazione omogenea, se A è radice r-pla di D(A) = 0 . 



Teorema XI. — L'equazione omogenea (10) ammette, al più, r solu- 

 zioni linearmente indipendenti. 



Nel caso del Fredholm, tale limite superiore è, come è noto, effettiva- 

 mente raggiunto. 



4. Inoltre dimostro i seguenti teoremi : 



Teorema XII. — Se esiste un quadrato, nel piano (£ , rj), avente due 

 suoi vertici {et, a) , ( — fi , — fi) sulla retta i? = £, e se tale quadrato con- 

 tenga internamente sia lo zero, sia la curva <?(£) per 



— fi < £ < a , 



la (1) è riconducibile direttamente ad equazioni regolari di Fredholm. 



Teorema XIII. — Se tale quadrato non esiste, la (1) è riconducibile 

 ad equazioni di Fredholm, ma queste sono singolari. 



(') Per la continuità del nucleo ciò avviene. 



