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Aggiungiamo che alla teoria delle curve piane fu data un'estensione 

 un po' maggiore di quanto venne fatto nei più antichi trattati sulla materia, 

 considerando che tutti i problemi di geometria descrittiva si riducono, in 

 ultima analisi, alla delineazione di curve situate nel piano del disegno ed 

 alla, determinazione degli elementi comuni a due di esse, onde una estesa 

 conoscenza della teoria delle linee piane sembra indispensabile per chiunque 

 intenda rendersi famigliare il maneggio della geometria descrittiva. 



Nè va taciuto che, per addurre un esempio di una curva a doppia cur- 

 vatura algebrica non definita come intersezione di due superficie, si è attinto 

 ad una fonte antichissima ma sempre fresca, la Collezione matematica di 

 Pappo Alessandrino, ove, come analoga nello spazio della spirale d' Archi- 

 mede, è considerata e parzialmente investigata una curva razionale del 

 10° ordine che offre istruttive applicazioni dei procedimenti generali di rap- 

 presentazione delle linee a doppia curvatura ( 1 ). 



La teoria generale delle superficie viene applicata alle più importanti 

 classi di tali enti che s' incontrano in teoria ed in pratica : quàdriche, super- 

 ficie coniche e cilindriche, superficie rigate, superficie di rotazione, superficie 

 elicoidi. Quando si vogliano usare i metodi della geometria descrittiva allo 

 studio di una di tali figure, per evitare eccessive complicazioni grafiche, si 

 suppone ordinariamente di averle collocate in posizioni speciali rispetto agli 

 elementi di riferimento e che i dati assunti per determinarle abbiano (per 

 così esprimerci) una determinata « forma canonica » . 



Ora la prima di siffatte supposizioni s'impone bene spesso quando si 

 vogliano evitare le costruzioni tanto laboriose da spaventare il più intre- 

 pido disegnatore: così, volendo rappresentare una quadrica determinata da 

 nove punti arbitrari o generata da due stelle reciproche, si va incontro a 

 tali complicazioni che ben presto si è costretti a rinunciare; mentre se, per 

 converso, si suppone di riferirla a tre piani (orizzontale, verticale, di profilo) 

 paralleli ai piani principali della superficie e di individuarla col mezzo delle 

 corrispondenti sezioni piane, ci si trova di fronte a questioni le cui difficoltà 

 possono sormontarsi sfruttando le vastissime cognizioni che oggi possediamo 

 intorno alle curve di second'ordine. Un saggio di siffatte questioni è rap- 

 presentato dal cap. II del libro III della II parte di queste Vorlesungen. 



sur les progrès des sciences mathématiques, Paris, 1810, pag. 41) diede in origine alla 

 sua esposizione di tale materia il titolo di Feuilles d'analyse appliquée a la geométrie 

 descriptive; ed inoltre ebbe a dichiarare che, se avesse dovuto rifare la sua opera De 

 Vanaìyse appliquée à la geométrie, l'avrebbe scritta in due colonne, esponendo nella 

 prima le dimostrazioni analitiche e nella seconda le dimostrazioni coi metodi della Geo- 

 metria Descrittiva (ved. T. Olivier nella Prefazione al suo Cours de géométrie descriptive, 

 Paris, 1843). 



i 1 ) Ved. la memoria La spirale de Pappus (Archiv. f. Math. u. Phys., Ili Reihe, 

 XII Bd., 1907). 



