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Matematica. — Sul calcolo della funzione di Green per le 

 equazioni differenziali e integro-differenziali di tipo parabolico. 

 Nota di G. C. Evans (Houston, U. S. A.) presentata dal Socio V. 

 Volterra. 



Il prof. Hilbert ha esposto, nel suo recente libro sulle equazioni inte- 

 grali ( 1 ), un bel metodo per trovare la funzione di Green per l'equazione 

 differenziale di tipo ellittico L(u)-\-Xu = 0, data quella per l'equazione 

 ~L{u) = 0. Questo metodo dà risultati interessanti, se è applicato ad equa- 

 zioni di altri tipi. In questa Nota deduco la formola per la funzione di 

 Green per l'equazione differenziale 



(1) ^-^ = k{z,t)u{x,t) 



e poi per l'equazione integro-differenziale 



(2) — — — ( k(x , t , t) u(x ,t)dz, 



V » 1X l 1t Jt x 



in cui l x sarà definito in seguito ( 2 ). La (2) si può generalizzare in più modi. 



1. In primo luogo è necessario definire la funzione di Green. Conside- 

 reremo un campo a, indicandolo anche col simbolo f 0 ov, , il cui contorno, 

 chiamato dal prof. Levi di seconda specie ( 3 ), è composto delle linee 

 t=U , t = ti , x = ti{C) , x = h{t), ove le funzioni £,(/) e § 2 (t) sono, 

 colle loro derivate del primo ordine, continue per t 0 <. t <. /, . Indicheremo 

 questo contorno, senza la retta t = ti, preso nel senso positivo, col sim- 

 bolo toSti . 



Diremo che una funzione u(x,t) è regolare in f,o^,, se u(x,t) e 



~òu(x , t) .. .. ~ò 2 u(x,t) ~òu(x , t) 

 sono limitate e continue in a, e — — e sono con- 

 sce ~òx 2 ~òt 



tinue fuorché lungo certe linee distribuite in modo regolare, e integrabili 



^cioè 



• ■_. . r ^uiw , t) . i)u(x , t) 



tali che ^-z — - dx = — 5 ecc. 



J ~ÒX l ~ÒX 



(') D. Hilbert, Grundzùge einer allgemeinen theorie der linearen Integralgleich- 

 ungen [JLipsia, 19] 2J. a pag. 63. 



( a ) Per questa equazione e per i relativi teoremi di esistenza vedi Evans: The re- 

 duction of certain types of integro-differential equations, cap. II pubblicarsi nelle 

 Transactions of the American Mathematical Society]. Citeremo questa Memoria in se- 

 guito colla lettera u. 



( 3 ) E. E. Levi, Self equazione del calore [Annali di Matematica, 1908] a pag. 199. 

 Citeremo questa Memoria in seguito colla lettera /S. 



Rendiconti. 1913, Voi. XXII, 1° Sem. Ili 



